Calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a:
(ln (x^2+1))^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(ln(x^2+1)r)^3
Aqui usamos o conteúdo de derivadas e, em especial, a regra da cadeia, além das derivadas conhecidas de ln(u) e de x^2+1.

Passo 2

Vamos decompor f em duas funções:
u(x)=ln(x^2+1) (função interna)
e
g(u)=u^3 (função externa),
de modo que f(x)=gl(u(x)r).

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada de u(x). Como u(x)=ln(x^2+1), temos
u'(x)=ddxln(x^2+1) =1x^2+1cdotddx(x^2+1) =1x^2+1cdot 2x =2xx^2+1

Passo 4

Agora a derivada de g(u)=u^3 em relação a u é
g'(u)=ddu(u^3)=3u^2

Passo 5

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'l(u(x)r)cdot u'(x) =3l(u(x)r)^2cdot2xx^2+1 =3l(ln(x^2+1)r)^2cdot2xx^2+1

Resposta

f'(x)=6xl(ln(x^2+1)r)^2x^2+1

Exercícios relacionados