Calcule as seguintes integrais utilizando o teorema de Green, ao longo das curvas
, orientadas positivamente.:
, onde
é a fronteira da região
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
ao longo da fronteira do quadrado
orientada positivamente. Vamos usar o teorema de Green, que transforma a integral de linha em integral dupla sobre a região.
Passo 2
Identificamos
Pelo teorema de Green,
onde
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Passo 4
Montamos a integral dupla sobre
:
Integramos primeiro em
:
Depois em
:
Resposta
A integral vale
.