Calcule as seguintes integrais utilizando o teorema de Green, ao longo das curvas C, orientadas positivamente.:
ointC(x-y) d x-x^2 d y, onde C é a fronteira da região [0,2] times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
ointC(x-y),dx - x^2,dy
ao longo da fronteira do quadrado [0,2]times[0,2] orientada positivamente. Vamos usar o teorema de Green, que transforma a integral de linha em integral dupla sobre a região.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x-y, Q(x,y)=-x^2
Pelo teorema de Green,
ointCP,dx+Q,dy = integral duplaDl(partialx Q - partialy Pr),dA,
onde D=[0,2]times[0,2].

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partialx Q = -2x, partialy P = -1
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partialx Q - partialy P = -2x + 1

Passo 4

Montamos a integral dupla sobre D:
integral duplaD(-2x+1),dA = integral0^2integral0^2(-2x+1),dx,dy
Integramos primeiro em x:
integral0^2(-2x+1),dx = l[-x^2+xr]0^2 = -4 + 2 = -2
Depois em y:
integral0^2(-2),dy = -2 times 2 = -4

Resposta

A integral vale -4.

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