Calcule as seguintes integrais utilizando o teorema de Green, ao longo das curvas
, orientadas positivamente.:
, onde
é a fronteira da região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde é a fronteira da região
limitada por
onde
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
logo
Passo 3
Para descrever
, igualamos
a
, obtendo
e assim
. Em cada
desse intervalo,
varia de
até
. Portanto
Passo 4
Pelo Teorema de Green,
Como
vezes a área de
, escrevemos
Passo 5
Calculamos a integral em
:
Multiplicando por
resulta
Resposta
O valor da integral é
.