Calcule as seguintes integrais utilizando o teorema de Green, ao longo das curvas C, orientadas positivamente.:
ointC(cos x-5 y) d x+(4 x-1y) d y, onde C é a fronteira da região limitada por y+x^2-9=0 e y-5=0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
ointC(cos x-5y),dx+l(4x-tfrac1yr),dy
onde C é a fronteira da região D limitada por
y + x^2 - 9 = 0 e y - 5 = 0
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre D.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=cos x-5y, Q(x,y)=4x-tfrac1y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=4, partial Ppartial y=-5,
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =4-(-5)=9

Passo 3

Para descrever D, igualamos y=9-x^2 a y=5, obtendo x^2=4 e assim xin[-2,2]. Em cada x desse intervalo, y varia de 5 até 9-x^2. Portanto
D=(x,y)mid -2<= x<=2,;5<= y<=9-x^2

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA =integral duplaD9,dA
Como integral duplaD9,dA=9 vezes a área de D, escrevemos
9integralx=-2^2integraly=5^9-x^2d y,dx =9integral-2^2l[(9-x^2)-5r]dx =9integral-2^2(4-x^2),dx

Passo 5

Calculamos a integral em x:
integral-2^2(4-x^2),dx =l[4x-tfracx^33r]-2^2 =l(8-tfrac83r)-l(-8+tfrac83r) =16-tfrac163 =tfrac323
Multiplicando por 9 resulta
9timestfrac323=96

Resposta

O valor da integral é 96.

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