Calcule f^prime(x) onde f(x) é igual a:
4^cos (x)+5x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 4^cos(x) + 5x^2
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia e duas fórmulas básicas de derivação:
  1. Se u(x) é função de x, ddxa^u(x) = a^u(x) ln(a),u'(x)
  2. A regra do poder para x^n, isto é, ddxx^n = n,x^n-1

Passo 2

Derivamos o termo 4^cos(x) usando a fórmula do exponencial composto. Aqui a=4 e u(x)=cos(x), logo u'(x)=-sin(x). Assim,
ddx4^cos(x) =4^cos(x)ln(4)cdotl(-sin(x)r) =-4^cos(x)ln(4),sin(x)

Passo 3

Para o termo tfrac5x^2, reescrevemos como 5x^-2 e aplicamos a regra do poder:
ddxl(5x^-2r) =5cdot(-2),x^-3 =-10,x^-3 =-10x^3

Passo 4

Somando as duas derivadas parciais, obtemos
f'(x) =-4^cos(x)ln(4),sin(x) -10x^3

Resposta

f'(x)=-4^cos(x)ln(4),sin(x)-10x^3

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