Determinar os seguintes limites, usando as regras de L’Hospital:
lim x 0^+ x^3x^4+ln x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0^+ x^3x^4+ln x
O conteúdo aqui envolve reescrever o limite em forma exponencial e usar a regra de L’Hôpital para tratar a indeterminação.

Passo 2

Defina
L = limxto0^+x^3x^4+ln x
Então, tomando logaritmo, obtemos
ln L = limxto0^+3ln xx^4+ln x

Passo 3

À medida que xto0^+, temos ln xto-infty e x^4to0, de modo que
3ln xx^4+ln x
é da forma -infty/-infty. Aplicamos a regra de L’Hôpital:
ln L = limxto0^+ ddx(3ln x)ddx(x^4+ln x) = limxto0^+ tfrac3x4x^3+tfrac1x

Passo 4

No quociente simplificamos:
tfrac3x4x^3+tfrac1x = 34x^4+1
Como xto0^+ faz 4x^4to0, conclui-se
ln L = 3

Passo 5

Voltando à L, temos
L = e^ln L = e^3

Resposta

e^3

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