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Calcule a área do pentágono em R^2 cujos vétices, quando percorridos no sentido anti-horário, são (0,0) (1,0) (100,2) (58,4) (0,3)
square

Passo 1

O enunciado pede a área de um pentágono em R^2 cujos vértices, percorridos no sentido anti-horário, são
(0,0),;(1,0),;(100,2),;(58,4),;(0,3)
O conteúdo a usar é o Teorema de Gauss (ou Fórmula do Polígono), também chamado de shoelace formula.

Passo 2

Pela fórmula, se escrevemos os vértices em ordem como (x1,y1),ldots,(x5,y5) e fechamos de volta em (x1,y1), a área é
Área = 12l|sumi=1^5 xi,yi+1 ;-;sumi=1^5 yi,xi+1r| Á
Aqui tomamos (x1,y1)=(0,0), (x2,y2)=(1,0), (x3,y3)=(100,2), (x4,y4)=(58,4), (x5,y5)=(0,3) e (x6,y6)=(x1,y1).

Passo 3

Calcular o primeiro somatório:
sumi=1^5 xi,yi+1 =0cdot0 + 1cdot2 + 100cdot4 + 58cdot3 + 0cdot0 =2 + 400 + 174 =576

Passo 4

Calcular o segundo somatório:
sumi=1^5 yi,xi+1 =0cdot1 + 0cdot100 + 2cdot58 + 4cdot0 + 3cdot0 =116

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Área = 12,l|576 - 116r| = 12cdot460 =230 Á

Resposta

A área do pentágono é 230.

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