Exercício 13. Quando uma função não é diferenciável, um conceito que pode substituir o de diferenciabilidade é o de subdiferenciabilidade (ou superdiferenciabilidade). Dada uma função convexa e , o subdiferencial de no ponto é o conjunto dos pontos tais que
A desigualdade acima pode ser interpretada geometricamente como: define um plano que está todo abaixo do gráfico de e que toca no gráfico de para .
(i) Mostre que, dados convexos, fechados e disjuntos, com um deles compacto, existe e tais que
Dica: Definir . Com as nossas hipóteses, mostre que é fechado, convexo e que . Sendo fechado, minimizar em , obtendo um minimizante em . Sendo convexo, .
(ii) Mostre que, se é uma função convexa, então para todo .
Dica: Considerar o epigráfico de e .
(iii) Mostre que é diferenciável em se, e somente se, consiste de um ponto só. Neste último caso, deve ser .
Passo 1
O enunciado trata do conceito de subdiferencial de uma função convexa e pede três coisas: . (i) Provar um teorema de separação estrita para dois conjuntos convexos, fechados, disjuntos, dos quais um é compacto. . (ii) Usar essa separação para mostrar que para qualquer ponto a subdiferencial não é vazia. . (iii) Mostrar que é diferenciável em se, e somente se, tem exatamente um ponto, e que esse ponto único é o gradiente .
Para isso precisaremos de geometria convexa (separação de conjuntos convexos) e das propriedades de funções convexas (epigráfico, derivadas direcionais, caracterização do subdiferencial).
Passo 2
(Prova de (i) – separação estrita)
Defina
) Como e são convexos, é convexo. ) Como e são fechados e um deles compacto, a soma (diferença) é fechada, logo é fechado. ) implica .
Agora, sendo fechado e , a função atinge seu mínimo em algum . Seja
Pelo critério de mínimo em conjunto convexo, para todo e todo temos . Defina
Como phi tem mínimo em t=0, tem-se phi'(0)>=0, ou seja
(Prova de (ii) – subdiferencial não vazio)
Dado x0inR^n, considere no espaço R^n+1
A ;=;(x,y)inR^ntimesR : y>= f(x) e B ;=;(x0,;f(x0)-tfrac1k),
onde kinN. Aqui A é o epigráfico de f (convexo e fechado) e B é um ponto (fechado e compacto) estritamente abaixo do epigráfico, logo Acap B=emptyset. Pelos resultados de (i), existe
w=(p,r)inR^ntimesR, a>0
tal que, para todo (x,y)in A e (x0,f(x0)-tfrac1k)in B, vale
Da definição de subgradiente segue imediatamente que nabla f(x0)inpartial f(x0). Por convexidade partial f(x0) é convexo e compacto, mas se houvesse outro pneqnabla f(x0) também em partial f(x0), a ordem de pequeno em o(|x-x0|) forçaria p=nabla f(x0). Logo partial f(x0)=nabla f(x0).
2) Reciprocamente, é um fato padrão de convexidade que para toda direção d existe a derivada direcional
f'(x0;d) = suppinpartial f(x0)lang<= p,drang<=
Se partial f(x0) tem exatamente um ponto p, então
f'(x0;d) = lang<= p,drang<= forall,d,
o que mostra que f tem derivada direcional linear em toda direção, i.e.\ é diferenciável e nabla f(x0)=p.
Resposta
(i) Mostramos que definindo W=A-B obtemos um ponto wneq0 e a>0 tais que lang<= w,x-yrang<=>= a para todo xin A, yin B.
(ii) Aplicando (i) ao epigráfico de f e ao ponto abaixo dele, obtemos explicitamente um subgradiente, logo partial f(x0)neqemptyset.
(iii) Demonstramos que f é diferenciável em x0 se, e somente se, partial f(x0) tem exatamente um elemento, e nesse caso esse elemento é nabla f(x0).