Calcule a primeira coordenada do centro de massa de um fio homogêneo que está ao longo de uma curva r(t)=t i+(2 raiz25 t^52) j+(t^44) k, 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado pede a primeira coordenada do centro de massa de um fio homogêneo apoiado na curva paramétrica vec r(t)=t,vec i+l(tfrac2raiz25t^5/2r),vec j+l(tfract^44r),vec k, com 0<= t<=2. O conteúdo envolvido é o cálculo de centro de massa de uma curva (fio) uniforme, e vamos precisar usar a fórmula bar x=integral x,dsintegral ds, onde ds=|vec r,'(t)|,dt.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada vec r,'(t) e o elemento de arco ds:
vec r,'(t)=ddtl(t,,tfrac2raiz25t^5/2,,tfract^44r)=l(1,,raiz2,t^3/2,,t^3r)
Então
ds=l|vec r,'(t)r|,dt=raiz1+2t^3+t^6,dt=l(1+t^3r)dt,
pois t>=0.

Passo 3

Agora calculamos o denominador, que é o comprimento total do fio:
integral0^2ds=integral0^2(1+t^3),dt=l[t+tfract^44r]0^2=2+tfrac164=6

Passo 4

Em seguida, calculamos o numerador integral x,ds, lembrando que x=t:
integral0^2t,ds=integral0^2t,(1+t^3),dt=l[tfract^22+tfract^55r]0^2=tfrac42+tfrac325=2+tfrac325=tfrac425
Por fim,
bar x=16cdot425=75

Resposta

75

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