Nos exercícios abaixo, classifique as equações diferenciais dadas quanto à linearidade e ordem. Indique o termo não linear, quando for o caso.
t^2 d x+(x-t x-t e^t) d t=0;
x=f(t)

Passo 1

Temos a equação diferencial
t^2,dx+(x-tx-te^t),dt=0,
com a função incógnita x=f(t). O conteúdo aqui é identificação de ordem e linearidade de EDOs de primeira ordem, então vamos reescrever na forma padrão tfracdxdt+p(t)x=q(t) para analisar.

Passo 2

Começamos dividindo a equação por dt e depois por t^2, obtendo:
t^2dxdt+(x-tx-te^t)=0
dxdt+x(1-t)-te^tt^2=0
dxdt+1-tt^2,x=e^tt

Passo 3

Na forma padrão acima, tanto x quanto dx/dt aparecem apenas com potência 1 e multiplicados por funções de t. Não há termos como x^2, (dx/dt)^2 ou produtos não-lineares envolvendo x ou dx/dt. Logo, a equação é linear.

Passo 4

A derivada de maior ordem presente é dx/dt, ou seja, a equação é de primeira ordem. Como verificamos que não há nenhum termo não-linear, concluímos que ela é linear e não possui termo não-linear.

Resposta

Equação diferencial de ordem 1 e linear; não há termo não-linear.

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