Calcule a primeira e a segunda derivadas da função h(x)=cos (x^2).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira e segunda ordem da função
h(x)=cosl(x^2r)
Vamos usar a regra da cadeia para obter a primeira derivada e, em seguida, aplicar regra do produto combinada com cadeia para a segunda derivada.

Passo 2

Para calcular a primeira derivada ,h'(x), lembramos que
dducos(u)=-sin(u),
e aqui u(x)=x^2 tem derivada u'(x)=2x. Assim, pela regra da cadeia,
h'(x) =ddxcosl(x^2r) =-sinl(x^2r)cdot2x =-2x,sinl(x^2r)

Passo 3

Para obter a segunda derivada ,h''(x), note que
h'(x)=-2x,sin(x^2)
é produto de -2x por sin(x^2). Aplicando a regra do produto,
h''(x) =ddxl(-2xr),sin(x^2) +(-2x),ddxl[sin(x^2)r]
Calculamos
ddxl(-2xr)=-2, ddxsin(x^2)=cos(x^2)cdot2x
Substituindo,
h''(x) =-2,sin(x^2) -2xcdot2x,cos(x^2) =-2sin(x^2)-4x^2cos(x^2)

Resposta

h'(x)=-2x,sinl(x^2r), h''(x)=-2sinl(x^2r)-4x^2cosl(x^2r)

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