Sejam as funções f(x)=2 xx^3-7 e g(x)=3 x ln x.
a. Determine a derivada de cada uma das funções acima para x=1.
b. Quando x=1 a função f(x) é crescente ou decrescente? Por quê?
c. Quando x=1 a função g(x) é crescente ou decrescente? Por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=2xx^3-7 e g(x)=3xln x,
e pede (a) as derivadas em x=1, (b) se f é crescente ou decrescente em x=1 e (c) se g é crescente ou decrescente em x=1. Vamos usar as regras de derivação (quociente e produto) e depois analisar o sinal da derivada para determinar monotonicidade.

Passo 2

Para derivar f(x)=2xx^3-7 usamos a regra do quociente. Seja
u(x)=2x, v(x)=x^3-7,
então
u'(x)=2, v'(x)=3x^2
e
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =2(x^3-7)-2xcdot3x^2(x^3-7)^2 =-4x^3-14(x^3-7)^2 =-22x^3+7(x^3-7)^2
Agora avaliaremos f'(1). Substituindo x=1 em
f'(x)=-22x^3+7(x^3-7)^2
vem
f'(1)=-22cdot1^3+7(1^3-7)^2 =-29(-6)^2 =-2936 =-12

Passo 3

Como f'(1)=-tfrac12<0, a função f é decrescente em x=1, pois derivada negativa indica que um aumento em x faz f(x) diminuir.

Passo 4

Para derivar g(x)=3xln x usamos a regra do produto. Seja
h(x)=x, k(x)=ln x,
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h'(x)=1, k'(x)=1x,
e
g'(x) =3l(h'(x)k(x)+h(x)k'(x)r) =3l(ln x + xcdottfrac1xr) =3(ln x +1)
Agora g'(1)=3(ln1+1)=3(0+1)=3.

Passo 5

Como g'(1)=3>0, a função g é crescente em x=1, pois derivada positiva indica que um aumento em x faz g(x) aumentar.

Resposta

a) f'(1)=-tfrac12, g'(1)=3.
b) f é decrescente em x=1 porque f'(1)<0.
c) g é crescente em x=1 porque g'(1)>0.

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