Calcule as primeiras derivadas parciais (com respeito a x e a y) das funções abaixo:
f(x, y)=\sin (x) \cos (7 y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=\sin(x)\,\cos(7y). Vamos usar que, ao derivar em relação a uma variável, a outra fica constante. Precisamos também das regras básicas:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)
\frac{d}{dy}\cos(7y)=-\sin(7y)\cdot7

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos \cos(7y) como constante e derivamos \sin(x):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\cos(x)\,\cos(7y).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos \sin(x) como constante e derivamos \cos(7y):
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\sin(x)\cdot\bigl(-\sin(7y)\cdot7\bigr) =-7\,\sin(x)\,\sin(7y).

Resposta

f_x(x,y)=\cos(x)\,\cos(7y), \qquad f_y(x,y)=-7\,\sin(x)\,\sin(7y).

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