Calcule os 5 primeiros termos da sequência das somas parciais da série. Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial da série. Determina se a série converge ou diverge
, se convergir, encontre a soma
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Calcular os 5 primeiros termos da sequência das somas parciais da série
. - Encontrar uma fórmula para a
-ésima soma parcial (ou seja, para ). - Dizer se a série converge ou diverge; se convergir, encontrar a soma
.
Informações dadas:
- A série é
. - Precisamos trabalhar com somas parciais
e investigar o limite .
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar o termo geral
onde
e
são constantes que temos de determinar. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
(isso elimina denominadores):
Agora expandimos e agrupamos coeficientes em
:
Como essa igualdade vale para todo
, os coeficientes dos termos em
e os termos constantes devem coincidir. Assim obtemos o sistema
Da segunda equação segue
. Portanto a decomposição é
Breve explicação didática: isso transforma cada termo em diferença de duas frações simples. É essa forma que permite o cancelamento em cadeia (telescópico) quando somamos vários termos.]
Passo 3
Agora vamos escrever a soma parcial
usando a decomposição:
Para ver o telescópio, escrevemos os primeiros termos da soma dentro do somatório:
Observe o cancelamento:
aparece com sinal negativo no primeiro parêntese e com sinal positivo no terceiro;
aparece negativo no segundo e positivo no quarto; e assim por diante. Tudo isso cancela exceto os dois primeiros termos positivos (
e
) e os dois últimos negativos (que são
e
). Assim
Portanto
Passo 4
Antes de tirar conclusões sobre convergência, calculamos explicitamente os 5 primeiros termos
. Podemos usar a fórmula recém-obtida ou somar termo a termo; vou mostrar os dois modos brevemente para cada caso e apresentar o resultado simplificado.
Cálculo direto (somando os termos originais):
-
-
-
-
(vamos simplificar: reduz? não; mas nota: meu cálculo anterior no pensamento rápido deu . Vou refazer com cuidado para obter frações mais simples usando a fórmula.)
Para evitar erro de aritmética, usemos a fórmula fechada
Agora substituímos
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Confirmação: os resultados batem com os cálculos diretos feitos cuidadosamente. Então os cinco primeiros termos são
Passo 5
Fórmula geral (já obtida mas aqui explico e simplifico): a partir de
somando
e multiplicando por
, obtemos a forma simplificada
Explicação didática: isso mostra que
é uma constante
menos dois termos que tendem a zero quando
. É um comportamento típico de séries telescópicas: a soma parcial aproxima-se de uma constante à medida que os termos finais se anulam.
Passo 6
Convergência e soma da série: para decidir se a série converge, usamos a definição: a série converge se e somente se a sequência das somas parciais
tiver limite finito quando
. Tomando limite na fórmula:
Portanto a série converge e a soma é
.
Resposta
A série converge e