Exercício 9 Encontre a série de Taylor em torno de c=1 para f(x)=\frac{1}{x}, e o intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a série de Taylor de f(x)=\dfrac{1}{x} em torno do ponto c=1; (2) determinar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Informações dadas: a função é f(x)=\dfrac{1}{x} e a série deve ser centrada em c=1. Não há outras condições explícitas.

Passo 2

Lembra da definição de série de Taylor centrada em c? Ela é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}\text{(c)}}{n!}(x-c)^n,
onde f^{(n)}\text{(c)} é a n-ésima derivada de f avaliada em x=c. Ou seja:
  • o termo geral usa a derivada de ordem n;
  • divide-se por n!;
  • multiplica-se por (x-c)^n.
Na prática, para aplicar isso precisamos achar uma fórmula para as derivadas f^{(n)}(x) e depois avaliá-las em x=1.

Passo 3

Compute as derivadas de f(x)=x^{-1}. Vamos calcular alguns termos e observar o padrão:
  • f(x)=x^{-1}.
  • f'(x)=-1\cdot x^{-2}.
  • f''(x) = -1\cdot(-2)\,x^{-3}=2\,x^{-3}.
  • f^{(3)}(x)=2\cdot(-3)\,x^{-4}=-6\,x^{-4}.
Perceba o padrão: os sinais alternam e aparecem fatoriais. Podemos provar por indução que
f^{(n)}(x)=(-1)^n\,n!\,x^{-(n+1)}.
Breve justificativa por indução: já vale para n=0. Se vale para n, então
f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\big[(-1)^n n! x^{-(n+1)}\big]=(-1)^n n!\cdot (-(n+1))x^{-(n+2)} = (-1)^{n+1}(n+1)!\,x^{-(n+2)},
logo a fórmula se mantém.

Passo 4

Agora avaliamos em c=1:
f^{(n)}(1)=(-1)^n n!\, 1^{-(n+1)} = (-1)^n n!.
Substituindo na fórmula de Taylor:
o coeficiente do termo (x-1)^n é
\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=\frac{(-1)^n n!}{n!}=(-1)^n.
Portanto a série de Taylor é (coloco em forma de série reconhecível):
\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (x-1)^n.

Passo 5

Agora o intervalo de convergência. Observe que a série obtida é uma série geométrica em h=x-1:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (x-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\big( -(x-1)\big)^n.
Uma série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge exatamente quando |r|<1. Aqui r=-(x-1), então a condição é
|x-1|<1.
Isto determina um raio de convergência igual a 1, ou seja o intervalo (no eixo real) é (1-1,\,1+1)=(0,2).
Verificação dos extremos:
  • Em x=2 temos x-1=1 e a série vira \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n, cujos termos não tendem a zero, logo diverge.
  • Em x=0 temos x-1=-1 e a série vira \sum_{n=0}^{\infty}1, que também diverge.
Portanto os extremos x=0 e x=2 não pertencem ao conjunto de convergência; o intervalo de convergência real é (0,2). (No contexto complexo, a série converge no disco |x-1|<1.)

Passo 6

Resumo prático para a prova: uma técnica rápida é reescrever x=1+h e usar a expansão geométrica
\frac{1}{1+h}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n h^n,\quad |h|<1,
substituindo h=x-1. Para aproximar numericamente, basta truncar a série: por exemplo, para x=1{,}1 ( h=0{,}1), \dfrac{1}{1{,}1}\approx 1-0{,}1+0{,}01-0{,}001+\cdots.

Resposta

\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (x-1)^n
(0,2)

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