Exercício 9 Encontre a série de Taylor em torno de
para
, e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a série de Taylor de
em torno do ponto
; (2) determinar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Informações dadas: a função é e a série deve ser centrada em
. Não há outras condições explícitas.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Lembra da definição de série de Taylor centrada em
? Ela é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Ou seja:
- o termo geral usa a derivada de ordem
; - divide-se por
; - multiplica-se por
.
Na prática, para aplicar isso precisamos achar uma fórmula para as derivadas
e depois avaliá-las em
.
Passo 3
Compute as derivadas de
. Vamos calcular alguns termos e observar o padrão:
-
. -
. -
. -
.
Perceba o padrão: os sinais alternam e aparecem fatoriais. Podemos provar por indução que
Breve justificativa por indução: já vale para
. Se vale para
, então
logo a fórmula se mantém.
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Substituindo na fórmula de Taylor:
o coeficiente do termo é
o coeficiente do termo
Portanto a série de Taylor é (coloco em forma de série reconhecível):
Passo 5
Agora o intervalo de convergência. Observe que a série obtida é uma série geométrica em
:
Uma série geométrica
converge exatamente quando
. Aqui
, então a condição é
Isto determina um raio de convergência igual a
, ou seja o intervalo (no eixo real) é
.
Verificação dos extremos:
- Em
temos e a série vira , cujos termos não tendem a zero, logo diverge. - Em
temos e a série vira , que também diverge.
Portanto os extremos
e
não pertencem ao conjunto de convergência; o intervalo de convergência real é
. (No contexto complexo, a série converge no disco
.)
Passo 6
Resumo prático para a prova: uma técnica rápida é reescrever
e usar a expansão geométrica
substituindo
. Para aproximar numericamente, basta truncar a série: por exemplo, para
(
),
.