Calcule uma primitiva para cada uma das funções abaixo e indique o intervalo onde ela está definida:
c a sec ^2(3 x) b cos ^2(x) 4+x^2 d

Passo 1

Primeiro, a missão é achar primitivas (integrais indefinidas) das quatro funções fornecidas: sec^2(3x), cos^2(x), 4+x^2 e d. Vamos usar técnicas de integração de funções trigonométricas (substituição e identidades), de polinômios e de constantes.

Passo 2

Para a função sec^2(3x), lembramos que integral sec^2(u),du = tan(u) + C. Fazemos a substituição u = 3x, logo du = 3,dx, ou seja, dx = du/3.
Aplicando essa substituição, obtemos integral sec^2(3x),dx = integral sec^2(u),du3 = tfrac13tan(u) + C = tfrac13tan(3x) + C. Como sec(3x) e tan(3x) se descontinuam quando 3x = pi2 + kpi, isto é, em x = pi6 + ktfracpi3 com kinZ, a primitiva está definida em cada intervalo aberto l(tfracpi6 + ktfracpi3,tfracpi6 + (k+1)tfracpi3r).

Passo 3

Para cos^2(x), usamos a identidade de ângulo duplo cos^2(x) = tfrac1+cos(2x)2. Então
integral cos^2(x),dx = integral tfrac12,dx + integral tfraccos(2x)2,dx

Passo 4

Resolvendo cada parte: integral tfrac12,dx = tfracx2 e integral tfraccos(2x)2,dx = tfrac14sin(2x). Assim a primitiva é tfracx2 + tfrac14sin(2x) + C, definida para todo xinR.

Passo 5

Para 4 + x^2, integramos termo a termo: integral 4,dx = 4x e integral x^2,dx = tfracx^33. Logo a primitiva é 4x + tfracx^33 + C, válida em R.

Passo 6

Para a constante d, como integral d,dx = d,x + C, a primitiva é d,x + C, definida para todo xinR.

Resposta

a) F(x)=\tfrac{1}{3}\tan(3x)+C, definida em cada intervalo aberto l(tfracpi6 + ktfracpi3,tfracpi6 + (k+1)tfracpi3r), k∈ℤ.
b) F(x)=\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\sin(2x)+C, definida em R.
c) F(x)=4x+\tfrac{x^3}{3}+C, definida em R.
d) F(x)=d,x+C, definida em R.

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