Calcule uma primitiva para cada uma das funções abaixo e indique o intervalo onde ela está definida:
Passo 1
Primeiro, a missão é achar primitivas (integrais indefinidas) das quatro funções fornecidas:
,
,
e
. Vamos usar técnicas de integração de funções trigonométricas (substituição e identidades), de polinômios e de constantes.
Passo 2
Para a função
, lembramos que
. Fazemos a substituição
, logo
, ou seja,
.
Aplicando essa substituição, obtemos . Como
e
se descontinuam quando
, isto é, em
com
, a primitiva está definida em cada intervalo aberto
.
Aplicando essa substituição, obtemos
Passo 3
Para
, usamos a identidade de ângulo duplo
. Então
Passo 4
Resolvendo cada parte:
e
. Assim a primitiva é
, definida para todo
.
Passo 5
Para
, integramos termo a termo:
e
. Logo a primitiva é
, válida em
.
Passo 6
Para a constante
, como
, a primitiva é
, definida para todo
.
Resposta
a) F(x)=\tfrac{1}{3}\tan(3x)+C, definida em cada intervalo aberto
, k∈ℤ.
b) F(x)=\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\sin(2x)+C, definida em .
c) F(x)=4x+\tfrac{x^3}{3}+C, definida em .
d) F(x)=d,x+C, definida em .
b) F(x)=\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\sin(2x)+C, definida em
c) F(x)=4x+\tfrac{x^3}{3}+C, definida em
d) F(x)=d,x+C, definida em