Calcule o volume do sólido constituído de uma esfera de raio R menos um cilindro de raio R / 2 inscrito nela, usando as técnicas para sólidos de revolução.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao tirar de uma esfera de raio R um cilindro de raio R/2 inscrito nela. O conteúdo é volume por sólidos de revolução, onde vamos usar o método das arruelas (washers) e ainda a fórmula fechada da esfera e do cilindro.

Passo 2

Para achar o cilindro inscrito, primeiro determinamos a altura h dele. Se a esfera satisfaz x^2+y^2+z^2=R^2 e o cilindro tem raio a=R/2, o eixo do cilindro é, digamos, o eixo z. Então a interseção ocorre em z=pm H, com
H=raizR^2-a^2=raizR^2-(R/2)^2=raiz3R^24=Rraiz32

Passo 3

Assim a altura total do cilindro é
h=2H=Rraiz3

Passo 4

O volume do cilindro inscrito vale
Vrm cyl=pi a^2,h=pil(R2r)^2,(Rraiz3)=pi R^3raiz34

Passo 5

O volume da esfera é a fórmula clássica
Vrm sph=43pi R^3

Passo 6

Agora basta subtrair o cilindro da esfera:
V=Vrm sph-Vrm cyl=43pi R^3-pi R^3raiz34

Passo 7

Fazendo uma fração única:
V=pi R^3l(43-raiz34r)=pi R^312,(16-3raiz3)

Resposta

V=pi R^3l(tfrac43-tfracraiz34r)=pi R^312(16-3raiz3).

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