Encontre, se existirem, as seguintes integrais impróprias
l integral-infty^0 e^xraiz1-e^2 x d x integral0^1 1x^2-2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais impróprias: de x=-infty até 0 de e^xraiz1-e^2x,dx e de x=0 até 1 de 1x^2-2x+1,dx. O conteúdo envolve teste de convergência de integrais impróprias e uso de substituição para resolver a primeira.

Passo 2

Para a integral integral-infty^0 e^xraiz1-e^2x,dx fazemos a substituição
u = e^x, dx = duu,e os limites x=-inftymapsto u=0,;x=0mapsto u=1

Passo 3

Com isso o integrando e o intervalo viram
integral-infty^0 e^xraiz1-e^2x,dx = integral0^1 1raiz1-u^2,du

Passo 4

A integral integral0^1 duraiz1-u^2 é a forma padrão de arco seno e converge. Calculamos:
integral0^1 duraiz1-u^2=arcsin(u)|0^1=pi2

Passo 5

Para a integral integral0^1 1x^2-2x+1,dx fatoramos o denominador:
x^2-2x+1=(x-1)^2, de modo que o integrando fica 1/(x-1)^2.

Passo 6

A primitiva de 1/(x-1)^2 é -1/(x-1). Ao avaliar o limite quando xto1^- temos
limbto1^-l(-1x-1r)|0^b=limbto1^-l(-1b-1+1r)=+infty,

Passo 7

Portanto a segunda integral diverge (não converge).

Resposta

A primeira integral converge e vale tfracpi2; a segunda integral diverge (não existe valor finito).

Exercícios relacionados