Calcule a primitiva de f(x) = e^-x^2.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) de f(x)=e^-x^2. Esse tipo de integral aparece muito em estatística e física e não tem expressão em termos de funções elementares. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e introduzir a função erro.

Passo 2

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, criamos uma primitiva em forma de integral definida: seja
F0(x) = integral0^x e^-t^2,dt
Então, por construção, F0'(x) = e^-x^2, o que já nos dá uma primitiva.

Passo 3

Para padronizar e ter uma forma tabulada, define-se a função erro como
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2,dt
Logo, podemos escrever
integral0^x e^-t^2,dt = raizpi2,erf(x)

Passo 4

Assim, a primitiva geral de f(x)=e^-x^2 fica
integral e^-x^2,dx = raizpi2,erf(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

tfracraizpi2,erf(x) + C

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