Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre r^prime(t) e esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r^prime(t) para o valor dado de t.
r(t)=(sen(t), 2 cos (t)), t=pi4;

Passo 1

O enunciado pede pra gente esboçar a curva plana dada por vec r(t)=(sin t,,2cos t), encontrar a derivada vec r,'(t) e, em seguida, desenhar a posição e o vetor tangente no ponto correspondente a t=tfracpi4. O conteúdo é curva paramétrica (aqui, uma elipse) e derivada vetorial para obter o vetor tangente.

Passo 2

Para achar vec r,'(t), aplicamos derivação termo a termo:
vec r(t)=(sin t,,2cos t)
O derivativo de sin t é cos t e o de 2cos t é -2sin t, logo:
vec r,'(t)=(cos t,,-2sin t)

Passo 3

Agora avaliamos em t=tfracpi4. Sabendo que sin(tfracpi4)=cos(tfracpi4)=tfracraiz22, temos:
vec rl(tfracpi4r)=l(tfracraiz22,,2cdottfracraiz22r)=l(tfracraiz22,,raiz2r)
vec r,'l(tfracpi4r)=l(tfracraiz22,,-2cdottfracraiz22r)=l(tfracraiz22,,-raiz2r)

Passo 4

Para esboçar a curva, note que ela satisfaz a equação de uma elipse ao eliminar o parâmetro:
x=sin t, y=2cos t Rightarrow x^21 + y^24=1

Passo 5

No esboço, desenhe essa elipse centrada na origem, marque o ponto (tfracraiz22,,raiz2), trace de lá o vetor posição (do eixo até o ponto) e, a partir desse ponto, desenhe o vetor tangente com direção dada por (tfracraiz22,-raiz2).

Resposta

vec r,'(t)=(cos t,,-2sin t); em t=tfracpi4, vec r(tfracpi4)=(tfracraiz22,,raiz2) e vec r,'(tfracpi4)=(tfracraiz22,-raiz2). A curva é a elipse x^2+tfracy^24=1, com posição e vetor tangente desenhados no ponto indicado.

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