Calcule a primitiva da função f(x) = e^x cos(x).

Passo 1

A questão pede para encontrar uma primitiva (antiderivada) da função f(x)=e^xcos x. O conteúdo principal aqui é usar integração por partes duas vezes, já que temos o produto de e^x por cos x. Vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e escolher adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação de integração por partes:
u = e^x, dv = cos x,dx
então
du = e^x,dx, v = integral cos x,dx = sin x
Aplicando a fórmula:
integral e^xcos x,dx = e^xsin x - integral e^xsin x,dx

Passo 3

Para calcular integral e^xsin x,dx fazemos uma segunda integração por partes, agora com:
u = e^x, dv = sin x,dx
então
du = e^x,dx, v = integral sin x,dx = -cos x
Aplicando:
integral e^xsin x,dx = -e^xcos x - integral (-cos x),du = -e^xcos x + integral e^xcos x,dx

Passo 4

Chamando I = integral e^xcos x,dx, dos passos anteriores temos:
I = e^xsin x - integral e^xsin x,dx
e
integral e^xsin x,dx = -e^xcos x + I
Substituindo a segunda em I:
I = e^xsin x - l(-e^xcos x + Ir) = e^xsin x + e^xcos x - I

Passo 5

Agora isolamos I:
I + I = 2I = e^xl(sin x + cos xr)
logo
I = e^xl(sin x + cos xr)2 + C,
que é a primitiva desejada.

Passo 6

Concluindo, a primitiva geral de f(x)=e^xcos x é dada por:

Resposta

F(x)=e^xl(sin x + cos xr)2+C

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