Determine os limites: limx to 0 sin(5x)x e limx to 0 1 - cos(2x)x^2.

Passo 1

Bora avaliar estes dois limites:
L1 = limx to 0 sin(5x)x
e
L2 = limx to 0 1 - cos(2x)x^2
Esse assunto é limites de funções trigonométricas. As ferramentas que vamos usar são os limites fundamentais:
limu to 0 sin(u)u = 1
limu to 0 1 - cos(u)u^2 = 12

Passo 2

Para o primeiro limite, definimos u = 5x. Então, quando x to 0 temos u to 0. Substituindo na expressão:
sin(5x)x = sin(u)x = sin(u)u cdot ux = sin(u)u cdot 5
Aplicando o limite e usando limu to 0 sin(u)u = 1, obtemos L1 = 5.

Passo 3

Para o segundo limite, definimos u = 2x. Então u to 0 quando x to 0. Note que x^2 = (u/2)^2 = u^2/4. Substituindo:
1 - cos(2x)x^2 = 1 - cos(u)u^2/4 = 4 cdot 1 - cos(u)u^2
Usando limu to 0 1 - cos(u)u^2 = 1/2, concluímos L2 = 4 cdot 12 = 2.

Resposta

limx to 0 sin(5x)x = 5 e limx to 0 1 - cos(2x)x^2 = 2.

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