Calcule a primitiva das seguintes funçöes, sejam integrais indefinidas ou definidas (Valor: 2,0)
f(x)=sen(-5 x) em [0, pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) de f(x)=sen(−5x) e, em seguida, usar essa primitiva para obter a integral definida no intervalo [0,π]. O conteúdo é cálculo de integrais por substituição ou usando propriedades de funções trigonométricas.

Passo 2

Para achar uma antiderivada de f(x)=sen(−5x), podemos usar a identidade sen(−θ)=−sen(θ) ou substituir diretamente: faça u=−5x ⇒ du=−5
dx ⇒ dx=−du/5. Assim
integral sen(-5x),dx = integral sen(u)cdot(-tfracdu5) = -tfrac15integral sen(u),du = -tfrac15(-cos(u)) + C = tfrac15cos(u) + C
Voltando a x, u=−5x mas cos(−5x)=cos(5x), temos
$$
F(x) = \tfrac{1}{5}\cos(5x) + C
$$

Passo 3

Agora usamos essa primitiva para calcular a integral definida de 0 a π:
integral0^pi sen(-5x),dx = F(pi)-F(0) = (tfrac15cos(5pi)) - (tfrac15cos(0))
Sabendo que cos(5π)=cos(π)=−1 e cos(0)=1, vem
$$
F(\pi)-F(0) = \tfrac{1}{5}(-1) - \tfrac{1}{5}(1) = -\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{5} = -\tfrac{2}{5}.
$$

Resposta

-\tfrac{2}{5}

Exercícios relacionados