Calcule a primitiva das seguintes funçöes, sejam integrais indefinidas ou definidas (Valor: 2,0)
em
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) de f(x)=sen(−5x) e, em seguida, usar essa primitiva para obter a integral definida no intervalo [0,π]. O conteúdo é cálculo de integrais por substituição ou usando propriedades de funções trigonométricas.
Passo 2
Para achar uma antiderivada de f(x)=sen(−5x), podemos usar a identidade sen(−θ)=−sen(θ) ou substituir diretamente: faça u=−5x ⇒ du=−5
dx ⇒ dx=−du/5. Assim
dx ⇒ dx=−du/5. Assim
Voltando a x, u=−5x mas cos(−5x)=cos(5x), temos
$$
F(x) = \tfrac{1}{5}\cos(5x) + C
$$
Passo 3
Agora usamos essa primitiva para calcular a integral definida de 0 a π:
Sabendo que cos(5π)=cos(π)=−1 e cos(0)=1, vem
$$
F(\pi)-F(0) = \tfrac{1}{5}(-1) - \tfrac{1}{5}(1) = -\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{5} = -\tfrac{2}{5}.
$$
Resposta
-\tfrac{2}{5}