Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\quad \int \operatorname{sen}^{2}(2 t) \cos (t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{2}(2t)\,\cos(t)\,dt.
O conteúdo utilizado será identidade de redução de potência em trigonometria e a técnica de produto para soma.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}^{2}(2t)=\frac{1-\cos(4t)}{2},
logo
\int \operatorname{sen}^{2}(2t)\,\cos(t)\,dt =\int \frac{1-\cos(4t)}{2}\,\cos(t)\,dt =\frac12\int \cos(t)\,dt \;-\;\frac12\int \cos(4t)\,\cos(t)\,dt.

Passo 3

A primeira parte é imediata:
\frac12\int \cos(t)\,dt =\frac12\,\operatorname{sen}(t).

Passo 4

Para a segunda parte, usamos produto-para-soma:
\cos(4t)\,\cos(t) =\frac{\cos(4t- t)+\cos(4t+ t)}{2} =\frac{\cos(3t)+\cos(5t)}{2}.
Assim,
\int \cos(4t)\,\cos(t)\,dt =\frac12\int \bigl(\cos(3t)+\cos(5t)\bigr)\,dt =\frac12\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(3t)}{3}+\frac{\operatorname{sen}(5t)}{5}\Bigr) =\frac{\operatorname{sen}(3t)}{6}+\frac{\operatorname{sen}(5t)}{10}.
Multiplicando por \tfrac12 do passo anterior, obtemos
\frac12\int \cos(4t)\,\cos(t)\,dt =\frac{\operatorname{sen}(3t)}{12}+\frac{\operatorname{sen}(5t)}{20}.

Passo 5

Juntando os resultados:
\int \operatorname{sen}^{2}(2t)\,\cos(t)\,dt =\frac12\,\operatorname{sen}(t)\;-\;\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(3t)}{12}+\frac{\operatorname{sen}(5t)}{20}\Bigr)+C.

Resposta

\boxed{\int \operatorname{sen}^{2}(2t)\,\cos(t)\,dt =\frac12\,\operatorname{sen}(t)\;-\;\frac{\operatorname{sen}(3t)}{12}\;-\;\frac{\operatorname{sen}(5t)}{20}+C.}

Exercícios relacionados