Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}^{2}(w) \cos ^{2}(3 w) d w.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2}(w)\,\cos^{2}(3w)\,dw.
Aqui vamos usar redução de potência e fórmula produto-para-soma para reescrever o integrando em termos de cossenos de múltiplos de w, que são fáceis de integrar.

Passo 2

Aplicamos as identidades de redução de potência:
\sin^{2}(w)=\frac{1-\cos(2w)}{2}, \qquad \cos^{2}(3w)=\frac{1+\cos(6w)}{2}.
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\sin^{2}(w)\,\cos^{2}(3w) =\frac{1}{4}\bigl(1-\cos(2w)\bigr)\bigl(1+\cos(6w)\bigr).

Passo 3

Expandindo o produto dentro do colchete, obtemos
\bigl(1-\cos(2w)\bigr)\bigl(1+\cos(6w)\bigr) =1+\cos(6w)-\cos(2w)-\cos(2w)\cos(6w).

Passo 4

Para o termo \cos(2w)\cos(6w) usamos a fórmula produto-para-soma:
\cos(2w)\cos(6w) =\frac{\cos(8w)+\cos(4w)}{2}.
Assim
-\cos(2w)\cos(6w) =-\frac{\cos(8w)+\cos(4w)}{2}.

Passo 5

Reunindo tudo, o integrando fica
\sin^{2}(w)\cos^{2}(3w) =\frac{1}{4}\Bigl[1+\cos(6w)-\cos(2w) -\tfrac12\cos(8w)-\tfrac12\cos(4w)\Bigr].
Então a integral se separa em
\int \sin^{2}(w)\cos^{2}(3w)\,dw =\frac{1}{4}\int dw +\frac{1}{4}\int \cos(6w)\,dw -\frac{1}{4}\int \cos(2w)\,dw -\frac{1}{8}\int \cos(8w)\,dw -\frac{1}{8}\int \cos(4w)\,dw.

Passo 6

Usamos \displaystyle \int \cos(k w)\,dw=\frac{1}{k}\sin(k w). Assim:
\begin{aligned} \frac{1}{4}\int dw&=\frac{1}{4}w,\\\ \frac{1}{4}\int \cos(6w)\,dw&=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\sin(6w)=\frac{1}{24}\sin(6w),\\\\ -\frac{1}{4}\int \cos(2w)\,dw&=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\sin(2w)=-\frac{1}{8}\sin(2w),\\\\ -\frac{1}{8}\int \cos(8w)\,dw&=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{8}\sin(8w)=-\frac{1}{64}\sin(8w),\\\\ -\frac{1}{8}\int \cos(4w)\,dw&=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\sin(4w)=-\frac{1}{32}\sin(4w). \end{aligned}

Passo 7

Somando todos os termos e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \sin^{2}(w)\cos^{2}(3w)\,dw =\frac{1}{4}w +\frac{1}{24}\sin(6w) -\frac{1}{8}\sin(2w) -\frac{1}{64}\sin(8w) -\frac{1}{32}\sin(4w) +C.

Resposta

\boxed{ \int \sin^{2}(w)\cos^{2}(3w)\,dw =\frac{1}{4}w +\frac{1}{24}\sin(6w) -\frac{1}{8}\sin(2w) -\frac{1}{64}\sin(8w) -\frac{1}{32}\sin(4w) +C. }

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