Calcule as primitivas abaixo
integral 19-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função f(x)=19 - x^2. O conteúdo principal aqui é o uso de frações parciais para integrar funções racionais cujo denominador possa ser fatorado em termos lineares.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: 9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais como 19 - x^2=A3 - x+B3 + x.
Para encontrar A e B, escrevemos
1(3 - x)(3 + x)=A(3 + x)+B(3 - x)(3 - x)(3 + x)
Igualando numeradores:
1 = A(3 + x) + B(3 - x) = 3(A+B) + x(A - B)
Isso dá o sistema:
A - B = 0,3(A + B) = 1
Daí A = B e 6A = 1, logo A = B = tfrac16. Substituindo na integral:
integral 19 - x^2,dx = integral l(1/63 - x + 1/63 + xr),dx

Passo 3

Agora integramos cada termo:
integral 1/63 - x,dx = 16 integral 13 - x,dx = -16ln|3 - x| + C1,
integral 1/63 + x,dx = 16 integral 13 + x,dx = 16ln|3 + x| + C2

Passo 4

Somando as duas primitivias e absorvendo constantes em uma só, obtemos o resultado final.

Resposta

integral 19 - x^2,dx = 16lngl|3 + x3 - xgr| + C

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