O enunciado pede para calcular a primitiva de uma função racional. O conteúdo envolvido é a decomposição em frações parciais e a integração de termos do tipo . Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes para escrever o integrando como soma de frações simples.
Passo 2
Fatoramos o denominador . Observamos que
Logo podemos propor a decomposição
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por , obtemos o polinômio:
Passo 4
Expandindo e agrupando por potências de ,
Passo 5
Igualando coeficientes a 6, 14 e -20, temos o sistema:
Passo 6
Da terceira equação vem A=5. Substituindo na primeira e segunda:
B+C = 1, B-C = 7
Passo 7
Resolvendo: B=4 e C=-3. Assim:
6x^2+14x-20x^3-4x = 5x + 4x-2 - 3x+2
Passo 8
Agora integramos termo a termo:
integral 5xdx = 5ln|x|, integral 4x-2dx = 4ln|x-2|, integral -3x+2dx = -3ln|x+2|