Calcule as primitivas abaixo
integral 6 x^2+14 x-20x^3-4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de uma função racional. O conteúdo envolvido é a decomposição em frações parciais e a integração de termos do tipo integral dx/(x-a). Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes para escrever o integrando como soma de frações simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^3-4x. Observamos que
x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)
Logo podemos propor a decomposição
6x^2+14x-20x^3-4x = Ax + Bx-2 + Cx+2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x-2)(x+2), obtemos o polinômio:
6x^2+14x-20 = A(x^2-4) + B,x(x+2) + C,x(x-2)

Passo 4

Expandindo e agrupando por potências de x,
A x^2-4A + Bx^2+2Bx + Cx^2-2Cx = (A+B+C)x^2 + (2B-2C)x -4A

Passo 5

Igualando coeficientes a 6, 14 e -20, temos o sistema:
A+B+C = 6,2B -2C = 14,-4A = -20

Passo 6

Da terceira equação vem A=5. Substituindo na primeira e segunda:
B+C = 1, B-C = 7

Passo 7

Resolvendo: B=4 e C=-3. Assim:
6x^2+14x-20x^3-4x = 5x + 4x-2 - 3x+2

Passo 8

Agora integramos termo a termo:
integral 5xdx = 5ln|x|, integral 4x-2dx = 4ln|x-2|, integral -3x+2dx = -3ln|x+2|

Resposta

5\ln|x| + 4\ln|x-2| - 3\ln|x+2| + C

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