Determine os pontos da esfera
que estão mais próximos e mais distantes do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma esfera definida pela equação
e queremos encontrar quais pontos dessa esfera estão mais próximos e quais estão mais distantes do ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente a distância entre pontos no espaço. Vamos precisar lembrar como calcular a distância entre dois pontos e pensar um pouco sobre como essa distância varia na esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a esfera
. Essa é uma esfera centrada na origem
e com raio
, porque
é
. Então, todos os pontos que satisfazem essa equação estão a uma distância de 2 unidades do centro.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distância de qualquer ponto
da esfera até o ponto
. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Mas, para facilitar os cálculos, podemos trabalhar com o quadrado da distância:
Passo 4
Nosso objetivo é minimizar e maximizar
sujeito à restrição da esfera. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou simplesmente parametrizar a esfera, mas uma forma mais intuitiva é notar que a distância mínima e máxima acontecem ao longo da linha que conecta o centro da esfera ao ponto
.
Passo 5
Vamos calcular a direção dessa linha. A direção é dada pelo vetor que vai de
até
, ou seja,
. Para achar os pontos na esfera que estão mais próximos e mais distantes, vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento igual ao raio da esfera.
Passo 6
Primeiro, calculemos o comprimento de
:
Agora, a unidade de vetor na direção de
é:
Passo 7
Multiplicando
pelo raio da esfera (
), obtemos os pontos na esfera na direção de
e na direção oposta:
Passo 8
Então, esses são os pontos na esfera que estão mais próximos e mais distantes do ponto
. Para verificar, podemos calcular a distância desses pontos até
usando a fórmula da distância.
Resposta
Os pontos na esfera
que estão mais próximos de
são
e que estão mais distantes são
.