Determine os pontos da esfera x^2+y^2+z^2=4 que estão mais próximos e mais distantes do ponto (3,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma esfera definida pela equação x^2 + y^2 + z^2 = 4 e queremos encontrar quais pontos dessa esfera estão mais próximos e quais estão mais distantes do ponto (3, 1, -1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente a distância entre pontos no espaço. Vamos precisar lembrar como calcular a distância entre dois pontos e pensar um pouco sobre como essa distância varia na esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4. Essa é uma esfera centrada na origem (0, 0, 0) e com raio r = 2, porque 4 é 2^2. Então, todos os pontos que satisfazem essa equação estão a uma distância de 2 unidades do centro.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a distância de qualquer ponto (x, y, z) da esfera até o ponto (3, 1, -1). A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
D = raiz(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2
Mas, para facilitar os cálculos, podemos trabalhar com o quadrado da distância:
D^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2

Passo 4

Nosso objetivo é minimizar e maximizar D^2 sujeito à restrição da esfera. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou simplesmente parametrizar a esfera, mas uma forma mais intuitiva é notar que a distância mínima e máxima acontecem ao longo da linha que conecta o centro da esfera ao ponto (3, 1, -1).

Passo 5

Vamos calcular a direção dessa linha. A direção é dada pelo vetor que vai de (0,0,0) até (3,1,-1), ou seja, v = (3, 1, -1). Para achar os pontos na esfera que estão mais próximos e mais distantes, vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento igual ao raio da esfera.

Passo 6

Primeiro, calculemos o comprimento de v:
|v| = raiz3^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz9 + 1 + 1 = raiz11
Agora, a unidade de vetor na direção de v é:
v = ( 3raiz11, 1raiz11, -1raiz11 )

Passo 7

Multiplicando v pelo raio da esfera ( 2), obtemos os pontos na esfera na direção de v e na direção oposta:
Pmais próximo = v times 2 = ( 6raiz11, 2raiz11, -2raiz11 ) ó
Pmais distante = -v times 2 = ( -6raiz11, -2raiz11, 2raiz11 )

Passo 8

Então, esses são os pontos na esfera que estão mais próximos e mais distantes do ponto (3, 1, -1). Para verificar, podemos calcular a distância desses pontos até (3, 1, -1) usando a fórmula da distância.

Resposta

Os pontos na esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que estão mais próximos de (3, 1, -1) são ( dfrac6raiz11, dfrac2raiz11, dfrac-2raiz11 ) e que estão mais distantes são ( dfrac-6raiz11, dfrac-2raiz11, dfrac2raiz11 ).

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