Calcule as primitivas abaixo
integral ln x d xx[1+(ln x)^2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma primitiva (ou antiderivada) da função f(x)=ln xxl[1+ (ln x)^2r]. O conteúdo envolvido é integração por substituição, usando a relação entre ln x e sua derivada.

Passo 2

Para simplificar a integral, fazemos a substituição t=ln x. Como dt=1x,dx, temos dx= x,dt, e o fator dxx vira simplesmente dt.
Reescrevendo a integral em termos de t, obtemos:
integral ln xxl[1+ (ln x)^2r],dx=integral t1+t^2,dt

Passo 3

Para calcular integral t1+t^2,dt, lembramos que a derivada de 1+t^2 é 2t. Logo,
integral t1+t^2,dt=12integral 2t1+t^2,dt=12lnl(1+t^2r)+C

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos t=ln x e chegamos à primitiva buscada.

Resposta

12lnl(1+(ln x)^2r)+C

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