Calcule as primitivas abaixo:
integral 2(6-5 x)^4+43-8 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 2(6-5x)^4+43-8x,dx
O conteúdo é técnicas de integrais de funções racionais simples, usando substituições do tipo u=ax+b. Vamos separar a soma em duas integrais e aplicar substituição em cada uma.

Passo 2

Para a primeira parte,
integral 2(6-5x)^4,dx,
fazemos u=6-5x, logo du=-5,dx ou dx=-tfrac15du. Assim
integral 2(6-5x)^4,dx =2integral u^-4l(-tfrac15dur) =-tfrac25integral u^-4du
Integrando u^-4,
-tfrac25integral u^-4du =-tfrac25cdotu^-3-3 =215u^-3 =215(6-5x)^3

Passo 3

Para a segunda parte,
integral 43-8x,dx,
fazemos v=3-8x, logo dv=-8,dx ou dx=-tfrac18dv. Assim
integral 43-8x,dx =4integral v^-1l(-tfrac18dvr) =-tfrac48integral v^-1dv =-tfrac12lnl|vr| =-tfrac12lnl|3-8xr|

Passo 4

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
integral 2(6-5x)^4+43-8x,dx =215(6-5x)^3 -12lnl|3-8xr| +C

Resposta

boxed215(6-5x)^3-12lnl|3-8xr|+C

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