Calcule as primitivas abaixo
integral x^3 ln (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva integral x^3ln(2x),dx. Esse tipo de integral mistura um polinômio e um logaritmo, então vamos usar o método de integração por partes, que diz que integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para partes da seguinte forma:
u = ln(2x), dv = x^3,dx

Passo 3

Calculamos derivada e primitiva:
Para u = ln(2x) temos
du = ddx[ln(2x)],dx = 1x,dx
Para dv = x^3,dx obtemos
v = integral x^3,dx = x^44

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^3ln(2x),dx = u,v - integral v,du = x^44ln(2x) - integral x^44cdot1x,dx

Passo 5

Simplificamos o integrando restante:
integral x^44cdot1x,dx = 14integral x^3,dx = 14cdotx^44 = x^416

Passo 6

Juntando tudo e adicionando a constante de integração:
integral x^3ln(2x),dx = x^44ln(2x) - x^416 + C

Resposta

x^44ln(2x) - x^416 + C

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