Calcule as primitivas abaixo:
\quad \int \frac{\operatorname{sec} (\ln t)}{t} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{\operatorname{sec}(\ln t)}{t}\,dt.
O conteúdo principal é usar uma substituição para simplificar a integral e depois lembrar a antiderivada de \operatorname{sec} x.

Passo 2

Faça a substituição
u = \ln t,
de modo que
du = \frac{1}{t}\,dt
e portanto
\frac{dt}{t}=du.
Assim a integral original vira
\int \operatorname{sec}(\ln t)\,\frac{dt}{t} \;=\;\int \operatorname{sec}(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que a antiderivada de \operatorname{sec} u é
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável t através de u=\ln t, obtemos
\int \frac{\operatorname{sec}(\ln t)}{t}\,dt = \ln\bigl|\operatorname{sec}(\ln t)+\tan(\ln t)\bigr| + C.

Resposta

\ln\bigl|\operatorname{sec}(\ln t)+\tan(\ln t)\bigr| + C.

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