3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}x^n.
O conteúdo principal é determinar o raio de convergência usando o teste da razão e depois checar separadamente os pontos de fronteira x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+2}x^{\,n+1}}{(-1)^{n+1}x^n}\right| \;=\;\lim_{n\to\infty}|x| \;=\;|x|.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é, se
|x|<1.
Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Agora checamos o ponto x=1. Substituindo em cada termo:
(-1)^{n+1}\cdot1^n=(-1)^{n+1}.
A soma fica -1+1-1+1-\cdots, cujas somas parciais oscilam entre -1 e 0. Não há limite, portanto diverge em x=1.

Passo 4

No ponto x=-1, cada termo é
(-1)^{n+1}\,(-1)^n = (-1)^{2n+1}= -1.
Logo a soma seria -1-1-1-\cdots, que claramente diverge. Portanto a série diverge em x=-1.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1).

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