3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)} x^{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\,x^{2n+1}.
O conteúdo principal é determinar o raio de convergência usando o teste da razão e depois verificar o comportamento nos extremos x=\pm1.

Passo 2

Primeiro escrevemos o termo geral
a_n = \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\,x^{2n+1}.
Para aplicar o teste da razão, avaliamo-mos
\bigl|a_{n+1}\bigr|\big/\bigl|a_n\bigr|.

Passo 3

Observando que
\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)} =\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2},
definimos
b_n = \frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2},
logo a_n = b_n\,x^{2n+1}. Então
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{(2n+2)!}{2^{2n+2}\,((n+1)!)^2}\, \frac{2^{2n}\,(n!)^2}{(2n)!} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{4\,(n+1)^2} =\frac{2n+1}{2(n+1)}.

Passo 4

Com isso,
\bigl|a_{n+1}\bigr|\big/\bigl|a_n\bigr| =\frac{b_{n+1}}{b_n}\,\bigl|x\bigr|^2 \longrightarrow\frac{2n+1}{2(n+1)}\,|x|^2 \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;|x|^2.
Pelo teste da razão, a série converge se
|x|^2<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<1.
Portanto o raio de convergência é R=1.

Passo 5

Faltam os extremos:
  1. Em x=1 temos a_n=b_n\sim1/\sqrt{\pi n}. A série \sum1/\sqrt{n} diverge.
  2. Em x=-1 temos a_n=(-1)^{2n+1}b_n=-b_n, que também diverge pelo mesmo motivo.
Logo a convergência é apenas para -1<x<1.

Resposta

\,(-1,1)

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