Calcule as primitivas incicadas:
integral t e^3 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) de t e^3t. O conteúdo principal aqui é integração por partes, em que usamos a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Para aplicar essa fórmula, precisamos escolher u e dv. Uma escolha natural é:
u = t, dv = e^3t,dt
pois assim u é algo que simplifica ao derivar e dv é fácil de integrar.

Passo 3

Agora calculamos du e v:
du = dt, v = integral e^3t,dt = 13e^3t
Aqui usamos que a integral de e^at é tfrac1ae^at.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t e^3t,dt = u v - integral v,du = t cdot 13e^3t - integral 13e^3t,dt
Em seguida calculamos a integral restante:
integral 13e^3t,dt = 13 cdot 13e^3t = 19e^3t
Substituindo de volta e simplificando obtenhamos a primitiva.

Passo 5

Reunindo tudo, a primitiva fica:
integral t e^3t,dt = t3e^3t - 19e^3t + C = l(t3 - 19r)e^3t + C

Resposta

integral t e^3t,dt = l(t3 - 19r)e^3t + C

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