Calcule as primitivas incicadas:
integral x^2 ln (3 x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a primitiva (ou integral indefinida) de x^2ln(3x). O conteúdo principal aqui é integração por partes, e vamos precisar usar a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para integração por partes de forma que simplifique o ln(3x). Definimos
u = ln(3x), dv = x^2,dx

Passo 3

Calculamos du e v:
Para u=ln(3x) temos
du = 1x,dx,
e para dv = x^2,dx integramos:
v = integral x^2,dx = x^33

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^2ln(3x),dx = u,v - integral v,du = x^33ln(3x) - integral x^33 cdot 1x,dx

Passo 5

Simplificamos a integral restante e resolvemos:
integral x^33 cdot 1x,dx = 13integral x^2,dx = 13cdot x^33 = x^39
Portanto,
integral x^2ln(3x),dx = x^33ln(3x) - x^39 + C

Resposta

x^33ln(3x) - x^39 + C

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