Calcule as primitivas incicadas:
integral y^2 cos (y2) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
Temos o integral
integral y^2cosl(tfracy2r),dy
Conteúdo: integração por partes, que usa a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos precisar escolher funções u e dv de forma que du e v fiquem simples de calcular.

Passo 2

Escolhemos
u = y^2, dv = cosl(tfracy2r),dy
Então
du = 2y,dy, v = integral cosl(tfracy2r),dy = 2sinl(tfracy2r)
Pela fórmula de partes:
integral y^2cosl(tfracy2r)dy = y^2cdot 2sinl(tfracy2r) - integral 2sinl(tfracy2r)cdot 2y,dy = 2y^2sinl(tfracy2r) - 4integral ysinl(tfracy2r)dy

Passo 3

Agora precisamos calcular
integral ysinl(tfracy2r)dy
Novamente, por partes, tomamos
u1=y, dv1=sinl(tfracy2r)dy
Logo
du1=dy, v1=integral sinl(tfracy2r)dy = -2cosl(tfracy2r)
Aplicando partes:
integral ysinl(tfracy2r)dy = yl(-2cosl(tfracy2r)r) - integral l(-2cosl(tfracy2r)r)dy = -2ycosl(tfracy2r) + 2integral cosl(tfracy2r)dy
Como já sabemos integral cos(tfrac y2)dy=2sin(tfrac y2), vem
integral ysinl(tfracy2r)dy = -2ycosl(tfracy2r) + 4sinl(tfracy2r)

Passo 4

Retornando ao integral original:
integral y^2cosl(tfracy2r)dy = 2y^2sinl(tfracy2r) - 4l(-2ycosl(tfracy2r) + 4sinl(tfracy2r)r) + C
Distribuindo e simplificando, obtemos
2y^2sinl(tfracy2r) + 8ycosl(tfracy2r) - 16sinl(tfracy2r) + C

Resposta

2y^2sinl(tfracy2r) +8ycosl(tfracy2r)-16sinl(tfracy2r)+C

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