Utilize coordenadas polares para determinar o volume do solido dado.
Dentro da esfera x^2+y^2+z^2=16 c fora do cilindro x^2+y^2=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido situado dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e fora do cilindro x^2 + y^2 = 4, usando coordenadas polares (cilíndricas). O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla, precisaremos do jacobiano em coordenadas cilíndricas e dos limites da região.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta, z = z e o elemento de volume é dV = r,dz,dr,dtheta. Isso vem da teoria do jacobiano em mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 3

O cilindro x^2 + y^2 = 4 vira r = 2, e “fora do cilindro” significa r >= 2. A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 r^2 + z^2 <= 16, ou seja z varia de -raiz16 - r^2 a +raiz16 - r^2. Além disso r vai de 2 até 4, e theta de 0 até 2pi.

Passo 4

Montamos a integral tripla de volume:
V = integral0^2pi integralr=2^4 integralz=-raiz16 - r^2^raiz16 - r^2 r ,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em z. Como integral-a^a dz = 2a,
V = integral0^2pi integral2^4 2rraiz16 - r^2 ,dr,dtheta

Passo 6

Agora integramos em theta, o que dá um fator 2pi:
V = 2pi cdot 2 integral2^4 rraiz16 - r^2 ,dr = 4pi integral2^4 rraiz16 - r^2 ,dr

Passo 7

Para calcular integral2^4 rraiz16 - r^2 ,dr fazemos a substituição u = 16 - r^2, du = -2r,dr. Assim
integral rraiz16 - r^2 ,dr = -12 integral u^1/2 ,du = -12 cdot 23 ,u^3/2 = -13 (16 - r^2)^3/2

Passo 8

Aplicando os limites de r=2 (onde u=12) a r=4 (onde u=0), obtemos
integral2^4 rraiz16 - r^2 ,dr = -13l[0 - (12)^3/2r] = 13 cdot 12^3/2 = 13 cdot 24raiz3 = 8raiz3

Passo 9

Finalmente,
V = 4pi cdot 8raiz3 = 32piraiz3

Resposta

32piraiz3

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