Utilize coordenadas polares para determinar o volume do solido dado.
Dentro da esfera
fora do cilindro
Dentro da esfera
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido situado dentro da esfera
e fora do cilindro
, usando coordenadas polares (cilíndricas). O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla, precisaremos do jacobiano em coordenadas cilíndricas e dos limites da região.
Passo 2
Passamos para coordenadas cilíndricas, onde
,
,
e o elemento de volume é
. Isso vem da teoria do jacobiano em mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 3
O cilindro
vira
, e “fora do cilindro” significa
. A esfera
dá
, ou seja
varia de
a
. Além disso
vai de 2 até 4, e
de 0 até
.
Passo 4
Montamos a integral tripla de volume:
Passo 5
Integramos primeiro em
. Como
,
Passo 6
Agora integramos em
, o que dá um fator
:
Passo 7
Para calcular
fazemos a substituição
,
. Assim
Passo 8
Aplicando os limites de
(onde
) a
(onde
), obtemos
Passo 9
Finalmente,