Calcule as primitivas:
\int\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (ou integral indefinida) da função dada. As informações relevantes são:
\int\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)\,dx
Queremos encontrar todas as funções F(x) tais que F'(x)=\frac{x^{2}+1}{x}. Não há outras condições (como intervalo ou valor inicial), então a resposta virá com uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica do integrando, dividindo cada termo do numerador por x. Isso é permitido porque x não é zero no domínio da expressão:
\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}.
Portanto a integral fica
\int\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx.

Passo 3

Usamos a propriedade linear da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas. Logo
\int\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx=\int x\,dx+\int \frac{1}{x}\,dx.
Essa propriedade é básica e vale porque a operação de integração é linear.

Passo 4

Calculamos \displaystyle \int x\,dx usando a regra da potência para integrais. A regra diz:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1.
Aqui temos n=1, então
\int x\,dx=\int x^{1}\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^{2}}{2}.
Expliquei a regra porque ela é usada frequentemente: ela vem de inverter a derivada de x^{n+1}.

Passo 5

Agora calculamos \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx. Note que \frac{1}{x}=x^{-1} é o caso especial em que n=-1, para o qual a regra da potência não se aplica diretamente. Nesse caso tem-se a primitiva conhecida
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Explico por que aparece barra de valor absoluto: a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq 0, então \ln|x| funciona tanto para x>0 quanto para x<0. Para justificar, podemos diferenciar \ln|x|: para x>0, \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}; para x<0, \ln|x|=\ln(-x) e \dfrac{d}{dx}\ln(-x)=\dfrac{-1}{-x}=\dfrac{1}{x}.

Passo 6

Somando as duas primitivas obtidas e juntando as constantes em uma única constante de integração C, obtemos
\int\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C\right)=x+\frac{1}{x}=\frac{x^{2}+1}{x},
ou seja, recuperamos o integrando, logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C

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