Calcule as primitivas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (ou integral indefinida) da função dada. As informações relevantes são:
Queremos encontrar todas as funções
tais que
. Não há outras condições (como intervalo ou valor inicial), então a resposta virá com uma constante de integração
.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica do integrando, dividindo cada termo do numerador por
. Isso é permitido porque
não é zero no domínio da expressão:
Portanto a integral fica
Passo 3
Usamos a propriedade linear da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas. Logo
Essa propriedade é básica e vale porque a operação de integração é linear.
Passo 4
Calculamos
usando a regra da potência para integrais. A regra diz:
Aqui temos
, então
Expliquei a regra porque ela é usada frequentemente: ela vem de inverter a derivada de
.
Passo 5
Agora calculamos
. Note que
é o caso especial em que
, para o qual a regra da potência não se aplica diretamente. Nesse caso tem-se a primitiva conhecida
Explico por que aparece barra de valor absoluto: a derivada de
é
para
, então
funciona tanto para
quanto para
. Para justificar, podemos diferenciar
: para
,
; para
,
e
.
Passo 6
Somando as duas primitivas obtidas e juntando as constantes em uma única constante de integração
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a resposta encontramos
ou seja, recuperamos o integrando, logo a primitiva está correta.