Calcule as primitivas:
\int\left(\frac{x^{3}+2 x^{2}+5 x-1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primitivas (antiderivadas) da função cuja integral é
\int\left(\frac{x^{3}+2 x^{2}+5 x-1}{x^{2}}\right)dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integranda é \displaystyle\frac{x^{3}+2 x^{2}+5 x-1}{x^{2}}.
  • Há divisão por x^{2}, então a expressão só faz sentido para x\neq0.
  • Precisamos encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x) seja a integranda; no final devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por x^{2}. Isso deixa a integral mais fácil de integrar termo a termo. Faço a divisão termo a termo:
\frac{x^{3}}{x^{2}}=x,\qquad \frac{2x^{2}}{x^{2}}=2,\qquad \frac{5x}{x^{2}}=5x^{-1},\qquad \frac{-1}{x^{2}}=-x^{-2}.
Portanto a integranda simplificada é
x+2+5x^{-1}-x^{-2}.
Assim reescrevemos a integral como
\int\left(x+2+5x^{-1}-x^{-2}\right)dx.

Passo 3

Relembrando as regras que usaremos (com explicação didática):
  • Linearidade da integral: \displaystyle\int (a f(x)+b g(x))dx = a\int f(x)dx + b\int g(x)dx. Ou seja, podemos integrar termo a termo.
  • Regra da potência (para expoente diferente de -1): para um número real n\neq-1,
\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente.
  • Caso especial n=-1: \displaystyle\int x^{-1}dx = \int\frac{1}{x}dx = \ln|x| + C. O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo e a antiderivada deve valer para x<0 também (lembrando que nosso domínio exclui x=0).
Vamos aplicar essas regras a cada termo da integranda simplificada.

Passo 4

Integramos termo a termo, explicando cada aplicação:
  1. Para \displaystyle\int x\,dx: aqui n=1, aplicando a regra da potência,
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
  1. Para \displaystyle\int 2\,dx: constante multiplicativa. \int 1\,dx = x, então
\int 2\,dx = 2x.
  1. Para \displaystyle\int 5x^{-1}\,dx: é o caso x^{-1}, usamos o logaritmo. A constante 5 sai fora da integral:
\int 5x^{-1}\,dx = 5\int x^{-1}\,dx = 5\ln|x|.
  1. Para \displaystyle\int -x^{-2}\,dx: aplicamos a regra da potência com n=-2 (obs.: n\neq-1, então vale a fórmula):
\int -x^{-2}\,dx = -\int x^{-2}\,dx = -\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -\frac{x^{-1}}{-1}.
Calculando o sinal,
-\frac{x^{-1}}{-1} = x^{-1}.
Podemos escrever x^{-1} também como \displaystyle\frac{1}{x}.

Passo 5

Somando todas as primitivas parciais e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
\frac{x^{2}}{2} + 2x + 5\ln|x| + x^{-1} + C.
Para ficar mais bonito, posso reescrever x^{-1} como \displaystyle\frac{1}{x}, então a primitiva é
\frac{x^{2}}{2} + 2x + 5\ln|x| + \frac{1}{x} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2} + 2x + 5\ln|x| + \frac{1}{x} + C

Exercícios relacionados