Calcule as primitivas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as primitivas (antiderivadas) da função cuja integral é
Informações dadas e observações iniciais:
- A integranda é
. - Há divisão por
, então a expressão só faz sentido para . - Precisamos encontrar uma expressão
tal que seja a integranda; no final devemos incluir a constante de integração .
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por
. Isso deixa a integral mais fácil de integrar termo a termo. Faço a divisão termo a termo:
Portanto a integranda simplificada é
Assim reescrevemos a integral como
Passo 3
Relembrando as regras que usaremos (com explicação didática):
- Linearidade da integral:
. Ou seja, podemos integrar termo a termo. - Regra da potência (para expoente diferente de
): para um número real ,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente.
- Caso especial
: . O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo e a antiderivada deve valer para também (lembrando que nosso domínio exclui ).
Vamos aplicar essas regras a cada termo da integranda simplificada.
Passo 4
Integramos termo a termo, explicando cada aplicação:
- Para
: aqui , aplicando a regra da potência,
- Para
: constante multiplicativa. , então
- Para
: é o caso , usamos o logaritmo. A constante 5 sai fora da integral:
- Para
: aplicamos a regra da potência com (obs.: , então vale a fórmula):
Calculando o sinal,
Podemos escrever
também como
.
Passo 5
Somando todas as primitivas parciais e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Para ficar mais bonito, posso reescrever
como
, então a primitiva é