Calcule as primitivas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as primitivas (antiderivadas) da integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. O resultado deve ser uma família de funções
tais que
; inclui uma constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): aqui a função dentro do cosseno é uma função linear de
(é
). Quando temos
e
é simples, uma técnica muito útil é a substituição
. A ideia da substituição é trocar a variável para uma
que simplifique a integral. Lembrete da fórmula de substituição: se
então
, e
Aqui vamos aplicar isso com
.
Passo 3
Faço a substituição. Defino
Agora calculo
. Como
, temos
Isolo
:
Explicando:
é a taxa de variação de
em relação a
; como
cresce 1 unidade quando
cresce 3 unidades, temos
.
Passo 4
Substituo na integral original. Onde estava
coloco
, e onde estava
coloco
. Assim:
Posso tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Integro
. Conhecimento básico: a derivada de
é
, ou seja
. Portanto uma primitiva de
é
. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volto à variável original
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (boa prática para provas): derivo
. Usando a regra da cadeia,
Portanto
é realmente a função integrando, confirmando que a primitiva está correta.