Calcule as primitivas:
\int\left(\cos \frac{x}{3}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as primitivas (antiderivadas) da integral indefinida
\int \left(\cos \frac{x}{3}\right)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \cos\!\left(\frac{x}{3}\right). O resultado deve ser uma família de funções F(x) tais que F'(x)=\cos\!\left(\frac{x}{3}\right); inclui uma constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): aqui a função dentro do cosseno é uma função linear de x \frac{x}{3}). Quando temos \int \cos(g(x))\,dx e g(x) é simples, uma técnica muito útil é a substituição u=g(x). A ideia da substituição é trocar a variável para uma u que simplifique a integral. Lembrete da fórmula de substituição: se u=g(x) então du=g'(x)\,dx, e
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui vamos aplicar isso com g(x)=\frac{x}{3}.

Passo 3

Faço a substituição. Defino
u=\frac{x}{3}.
Agora calculo du. Como u=\frac{1}{3}x, temos
du=\frac{1}{3}\,dx.
Isolo dx:
dx=3\,du.
Explicando: du é a taxa de variação de u em relação a x; como u cresce 1 unidade quando x cresce 3 unidades, temos dx=3\,du.

Passo 4

Substituo na integral original. Onde estava \frac{x}{3} coloco u, e onde estava dx coloco 3\,du. Assim:
\int \cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = \int \cos(u)\cdot 3\,du.
Posso tirar a constante 3 para fora da integral:
=3\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Integro \cos(u). Conhecimento básico: a derivada de \sin(u) é \cos(u), ou seja \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Portanto uma primitiva de \cos(u) é \sin(u). Logo
3\int \cos(u)\,du = 3\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volto à variável original x substituindo u=\frac{x}{3}:
3\sin(u)+C = 3\sin\!\left(\frac{x}{3}\right) + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (boa prática para provas): derivo F(x)=3\sin\!\left(\frac{x}{3}\right). Usando a regra da cadeia,
F'(x)=3\cdot \cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{3}\right) =3\cdot \cos\!\left(\frac{x}{3}\right)\cdot\frac{1}{3} =\cos\!\left(\frac{x}{3}\right).
Portanto F'(x) é realmente a função integrando, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

3\sin\!\left(\dfrac{x}{3}\right)+C

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