Calcule as primitivas das seguintes funções. Verifique cada resultado usando difrenciação.
integral(raiz2 x-1raiz2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa encontrar as primitivas da função . Isso envolve a matéria de integrais, especificamente integrais de funções com potências de . Vamos usar as regras básicas de integração e depois verificar nossas respostas diferenciando as primitivas encontradas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a integração. Lembre-se que raiz2x - 1raiz2x = (2x)^12 - (2x)^-12 é o mesmo que e é . Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra geral para integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C é:
onde é a constante de integração. Porém, temos um coeficiente à frente de , que vamos tratar como uma constante multiplicativa.

Passo 4

Vamos integrar o primeiro termo integral (2x)^12 , dx = 2^12 integral x^12 , dx = raiz2 cdot x^3232 = 2raiz23 x^32 :

Passo 5

Agora, integramos o segundo termo integral -(2x)^-12 , dx = -2^-12 integral x^-12 , dx = -1raiz2 cdot x^1212 = -2raiz2 x^12 = -raiz2 x^12 :

Passo 6

Juntando os dois resultados, a primitiva geral da função é:
2raiz23 x^32 - raiz2 x^12 + C

Passo 7

Para confirmar que está tudo certo, vamos diferenciar nossa primitiva e ver se voltamos à função original:
ddx ( 2raiz23 x^32 - raiz2 x^12 + C ) = 2raiz23 cdot 32 x^12 - raiz2 cdot 12 x^-12 = raiz2 x^12 - 1raiz2 x^12
Que é exatamente a função que a gente queria integrar!

Resposta

A primitiva da função 2raiz23 x^32 - raiz2 x^12 + C é:

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