Calcule as primitivas a seguir.
\int \frac{1}{x^{2}+4 x+10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Especificamente, devemos encontrar
\int \frac{1}{x^{2}+4x+10}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A integranda é a função racional \dfrac{1}{x^{2}+4x+10}.
  • Não há constantes adicionais nem limites (é uma integral indefinida).
    O objetivo é obter uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4x+10}.

Passo 2

Observação importante sobre o denominador: ele é um polinômio quadrático. Primeiro verifico se a quadrática tem raízes reais (caso tivesse, poderíamos usar frações parciais). Calculo o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot1\cdot10 = 16-40 = -24.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais; ela é positiva para todo x e é conveniente completarmos o quadrado para transformar a integral numa forma padrão.

Passo 3

Completar o quadrado do polinômio x^{2}+4x+10. Faço:
x^{2}+4x+10 = x^{2}+4x+4+6 = (x+2)^{2}+6.
Portanto a integral fica
\int \frac{1}{(x+2)^{2}+6}\,dx.

Passo 4

Faço a substituição simples para simplificar a escrita: defino
u = x+2 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Assim a integral é transformada em
\int \frac{1}{u^{2}+6}\,du.
Repare que esta é a forma padrão \int \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du, com a^{2}=6, ou seja a=\sqrt{6}.

Passo 5

Apresento a fórmula padrão e explico o porquê: para a>0 vale
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Breve justificativa: a derivada de \arctan(t) é \dfrac{1}{1+t^{2}}. Se t=\dfrac{u}{a} então \dfrac{d}{du}\arctan\!\left(\dfrac{u}{a}\right)=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{1+(u/a)^{2}}=\dfrac{a}{u^{2}+a^{2}}. Multiplicando por \dfrac{1}{a} obtém-se exatamente \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}.

Passo 6

Aplicando a fórmula com a=\sqrt{6} na integral que temos:
\int \frac{1}{u^{2}+6}\,du = \int \frac{1}{u^{2}+(\sqrt{6})^{2}}\,du = \frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{6}}\right)+C.
Voltando à variável original x (lembrando que u=x+2), obtemos a primitiva em x:
\frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\left(\frac{x+2}{\sqrt{6}}\right)+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para segurança): derivando a resposta
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\left(\frac{x+2}{\sqrt{6}}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{1+\left(\dfrac{x+2}{\sqrt{6}}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{(x+2)^{2}+6},
que coincide com a integranda, então a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\left(\frac{x+2}{\sqrt{6}}\right)+C

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