Calcule as primitivas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Especificamente, devemos encontrar
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A integranda é a função racional
. - Não há constantes adicionais nem limites (é uma integral indefinida).
O objetivo é obter uma expressãotal que .
Passo 2
Observação importante sobre o denominador: ele é um polinômio quadrático. Primeiro verifico se a quadrática tem raízes reais (caso tivesse, poderíamos usar frações parciais). Calculo o discriminante:
Como
, a quadrática não tem raízes reais; ela é positiva para todo
e é conveniente completarmos o quadrado para transformar a integral numa forma padrão.
Passo 3
Completar o quadrado do polinômio
. Faço:
Portanto a integral fica
Passo 4
Faço a substituição simples para simplificar a escrita: defino
Assim a integral é transformada em
Repare que esta é a forma padrão
, com
, ou seja
.
Passo 5
Apresento a fórmula padrão e explico o porquê: para
vale
Breve justificativa: a derivada de
é
. Se
então
. Multiplicando por
obtém-se exatamente
.
Passo 6
Aplicando a fórmula com
na integral que temos:
Voltando à variável original
(lembrando que
), obtemos a primitiva em
:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para segurança): derivando a resposta
que coincide com a integranda, então a primitiva está correta.