pois fazendo a substituição u=f(x) obtém-se \int du/u=\ln|u|+C. Aqui, note que o numerador \,2x+4 é exatamente a derivada do denominador \,x^{2}+4x+10. Vamos aplicar isso com substituição explícita.
Voltando à variável x (substituindo u=x^{2}+4x+10), a primitiva é
\ln\!\bigl|x^{2}+4x+10\bigr|+C.
Passo 4
Pequena verificação e comentário didático: calcular a derivada de \ln\!\bigl(x^{2}+4x+10\bigr) (aqui pode-se omitir as barras de valor absoluto porque o que estiver dentro é sempre positivo, veja abaixo) dá
que confirma que encontramos uma primitiva correta.
Nota sobre positividade: completando o quadrado
x^{2}+4x+10=(x+2)^{2}+6>0\quad\text{para todo }x,
logo realmente x^{2}+4x+10>0 e pode-se escrever sem valor absoluto se preferir.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar a ideia: se tivesse \int \dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx, aplicar a mesma técnica com u=x^{2}+1 daria \ln(x^{2}+1)+C. A identificação do numerador como derivada do denominador é a chave.