Calcule as primitivas a seguir.
16. \int \frac{2 x+4}{x^{2}+4 x+10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função dada, ou seja, encontrar
\int \frac{2x+4}{x^{2}+4x+10}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é \,2x+4.
  • O denominador é \,x^{2}+4x+10.
  • A tarefa é determinar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2x+4}{x^{2}+4x+10}, mais uma constante de integração.

Passo 2

Observação útil (técnica que vamos usar): quando a integral tem a forma
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx
vale a identidade
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\!\bigl|f(x)\bigr|+C,
pois fazendo a substituição u=f(x) obtém-se \int du/u=\ln|u|+C. Aqui, note que o numerador \,2x+4 é exatamente a derivada do denominador \,x^{2}+4x+10. Vamos aplicar isso com substituição explícita.
Defina
u = x^{2}+4x+10.
Então
du = (2x+4)\,dx.
Portanto a integral fica
\int \frac{2x+4}{x^{2}+4x+10}\,dx=\int \frac{du}{u}.

Passo 3

Integrando \int \dfrac{du}{u} obtemos
\int \frac{du}{u}=\ln\!\bigl|u\bigr|+C.
Voltando à variável x (substituindo u=x^{2}+4x+10), a primitiva é
\ln\!\bigl|x^{2}+4x+10\bigr|+C.

Passo 4

Pequena verificação e comentário didático: calcular a derivada de \ln\!\bigl(x^{2}+4x+10\bigr) (aqui pode-se omitir as barras de valor absoluto porque o que estiver dentro é sempre positivo, veja abaixo) dá
\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(x^{2}+4x+10\bigr)=\frac{1}{x^{2}+4x+10}\cdot(2x+4)=\frac{2x+4}{x^{2}+4x+10},
que confirma que encontramos uma primitiva correta.
Nota sobre positividade: completando o quadrado
x^{2}+4x+10=(x+2)^{2}+6>0\quad\text{para todo }x,
logo realmente x^{2}+4x+10>0 e pode-se escrever sem valor absoluto se preferir.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar a ideia: se tivesse \int \dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx, aplicar a mesma técnica com u=x^{2}+1 daria \ln(x^{2}+1)+C. A identificação do numerador como derivada do denominador é a chave.

Resposta

\ln\!\bigl(x^{2}+4x+10\bigr)+C

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