Determine a área da região delimitada
pelos gráficos de f(x)=x e^{x} e g(x)=x e^{x^{2}} e as retas x=0 e x=2.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções e as retas:
  • f(x)=x e^{x}.
  • g(x)=x e^{x^{2}}.
  • As retas verticais x=0 e x=2.
O que o problema pede:
  • Determinar a área da região delimitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x=0 e x=2.
Informações relevantes dadas:
  • O intervalo em x considerado é [0,2] (porque as retas x=0 e x=2 delimitam verticalmente a região).
  • Ambas as funções são definidas e contínuas em [0,2] (são produtos de polinômios e exponenciais).
  • A área entre duas curvas em um intervalo é obtida integrando a diferença entre a função superior e a inferior (isso vamos usar a seguir).

Passo 2

Identificar qual função fica por cima (maior) em cada parte do intervalo [0,2].
Para comparar f e g observe a razão
\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x e^{x^{2}}}{x e^{x}}=e^{x^{2}-x}=e^{x(x-1)}.
  • Para 0\le x<1 tem-se x(x-1)\le 0, logo e^{x(x-1)}\le 1 e assim g(x)\le f(x).
  • Para x>1 tem-se x(x-1)>0, logo e^{x(x-1)}>1 e g(x)>f(x).
  • Em x=0 e x=1 as duas funções são iguais (verificação rápida: f(0)=g(0)=0; f(1)=g(1)=e).
Portanto, no intervalo [0,2] a função superior muda em x=1:
  • Em [0,1]: f(x) é a função superior e g(x) a inferior.
  • Em [1,2]: g(x) é a função superior e f(x) a inferior.
Logo a área procurada é a integral da diferença em valor absoluto:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.Á

Passo 3

Preparar para calcular as integrais. Escrevendo explicitamente:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(x e^{x}-x e^{x^{2}}\bigr)\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(x e^{x^{2}}-x e^{x}\bigr)\,dx.Á
Vamos separar em integrais mais simples e encontrar antiderivadas:
  • Antiderivada de x e^{x}: usar integração por partes (ou lembrar resultado). Tome u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. Assim
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1)+C.
Expliquei: aqui u é a parte que simplifica ao derivar e dv é fácil de integrar; esse é o método de integração por partes.
  • Antiderivada de x e^{x^{2}}: usar substituição. Tome t=x^{2}. Então dt=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac{1}{2}\,dt. Logo
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{t}\cdot \tfrac{1}{2}\,dt = \tfrac{1}{2} e^{t}+C = \tfrac{1}{2} e^{x^{2}} + C.
Expliquei: a substituição transforma a dependência complicada e^{x^{2}} em e^{t}, que é trivial de integrar; sempre verificar dt em termos de dx.

Passo 4

Calcular cada integral definida necessária usando as antiderivadas obtidas.
Primeira integral:
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}(x-1)\bigr]_{0}^{1}.
Avaliação:
  • Em x=1: e^{1}(1-1)=0.
  • Em x=0: e^{0}(0-1)=-1.
Portanto
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = 0 - (-1)=1.

Passo 5

Segunda integral (com e^{x^{2}}):
\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx = \left[\tfrac{1}{2} e^{x^{2}}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr)=\tfrac{1}{2}(e-1).

Passo 6

Terceira integral (parte no intervalo [1,2] com e^{x^{2}}):
\int_{1}^{2} x e^{x^{2}}\,dx = \left[\tfrac{1}{2} e^{x^{2}}\right]_{1}^{2} = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{4}-e^{1}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr).

Passo 7

Quarta integral (parte no intervalo [1,2] com e^{x}):
\int_{1}^{2} x e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}(x-1)\bigr]_{1}^{2}.
Avaliação:
  • Em x=2: e^{2}(2-1)=e^{2}.
  • Em x=1: e^{1}(1-1)=0.
Portanto
\int_{1}^{2} x e^{x}\,dx = e^{2}-0 = e^{2}.

Passo 8

Montar a área usando os resultados:
\begin{aligned} \text{Área} &= \Bigl(\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx - \int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx\Bigr) + \Bigl(\int_{1}^{2} x e^{x^{2}}\,dx - \int_{1}^{2} x e^{x}\,dx\Bigr)\\[4pt] &= \Bigl(1 - \tfrac{1}{2}(e-1)\Bigr) + \Bigl(\tfrac{1}{2}(e^{4}-e) - e^{2}\Bigr). \end{aligned}Á
Agora simplificar termo a termo:
1 - \tfrac{1}{2}(e-1) = 1 - \tfrac{1}{2}e + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}e.
E
\tfrac{1}{2}(e^{4}-e) - e^{2} = \tfrac{1}{2}e^{4} - \tfrac{1}{2}e - e^{2}.
Somando:
\text{Área} = \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}e + \tfrac{1}{2}e^{4} - \tfrac{1}{2}e - e^{2}.Á
Juntando os termos em e:
-\tfrac{1}{2}e - \tfrac{1}{2}e = -e.
Portanto
\text{Área} = \tfrac{1}{2}e^{4} - e^{2} - e + \tfrac{3}{2}.Á]

Passo 9

Interpretação final e aproximação (opcional para conferir): a área obtida é a expressão exata
\text{Área}=\tfrac{1}{2}e^{4}-e^{2}-e+\tfrac{3}{2}.Á
Se quiser uma aproximação numérica rápida (apenas para ter ideia):
  • e\approx 2{,}7182818
  • Calculando numericamente essa expressão dá aproximadamente \, (valor não exigido como resposta final).

Resposta

\tfrac{1}{2}e^{4}-e^{2}-e+\tfrac{3}{2}

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