Determine a área da região delimitada
pelos gráficos de
e
e as retas
e
.
pelos gráficos de
Passo 1
O enunciado nos dá as funções e as retas:
-
. -
. - As retas verticais
e .
O que o problema pede:
- Determinar a área da região delimitada pelos gráficos de
e e pelas retas e .
Informações relevantes dadas:
- O intervalo em
considerado é (porque as retas e delimitam verticalmente a região). - Ambas as funções são definidas e contínuas em
(são produtos de polinômios e exponenciais). - A área entre duas curvas em um intervalo é obtida integrando a diferença entre a função superior e a inferior (isso vamos usar a seguir).
Passo 2
Identificar qual função fica por cima (maior) em cada parte do intervalo
.
Para comparar
e
observe a razão
- Para
tem-se , logo e assim . - Para
tem-se , logo e . - Em
e as duas funções são iguais (verificação rápida: ; ).
Portanto, no intervalo
a função superior muda em
:
- Em
: é a função superior e a inferior. - Em
: é a função superior e a inferior.
Logo a área procurada é a integral da diferença em valor absoluto:
Passo 3
Preparar para calcular as integrais. Escrevendo explicitamente:
Vamos separar em integrais mais simples e encontrar antiderivadas:
- Antiderivada de
: usar integração por partes (ou lembrar resultado). Tome e . Então e . Assim
Expliquei: aqui
é a parte que simplifica ao derivar e
é fácil de integrar; esse é o método de integração por partes.
- Antiderivada de
: usar substituição. Tome . Então ou . Logo
Expliquei: a substituição transforma a dependência complicada
em
, que é trivial de integrar; sempre verificar
em termos de
.
Passo 4
Calcular cada integral definida necessária usando as antiderivadas obtidas.
Primeira integral:
Avaliação:
- Em
: . - Em
: .
Portanto
Passo 5
Segunda integral (com
):
Passo 6
Terceira integral (parte no intervalo
com
):
Passo 7
Quarta integral (parte no intervalo
com
):
Avaliação:
- Em
: . - Em
: .
Portanto
Passo 8
Montar a área usando os resultados:
Agora simplificar termo a termo:
E
Somando:
Juntando os termos em
:
Portanto
Passo 9
Interpretação final e aproximação (opcional para conferir): a área obtida é a expressão exata
Se quiser uma aproximação numérica rápida (apenas para ter ideia):
-
- Calculando numericamente essa expressão dá aproximadamente
(valor não exigido como resposta final).