Determine os volumes dos sólidos obtidos pelas rotações, em torno do eixo
, das regiões:
a)
e
b)
c)
d)
e
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O problema pede o volume dos sólidos obtidos ao girar em torno do eixo
quatro regiões planas distintas. Em todas elas vamos usar o método dos discos (ou anéis): em cada
, a seção transversal perpendicular ao eixo
é um disco de raio dado por alguma função
ou anel entre duas funções
e
. O volume é
Nos próximos passos vamos, para cada região, encontrar as curvas que limitam
, o intervalo de
, montar e calcular a integral.
Passo 2
Para a região
temos
e duas fronteiras acima do eixo:
Em cada
o raio da seção é
.
As duas curvas se igualam resolvendo
As duas curvas se igualam resolvendo
Também a região existe só enquanto
for real, isto é
. Analisando em cada trecho:
- Para
, , logo . - Para
, , logo . - Para
, volta a valer , logo .
Como não há “buraco” interno (
), o volume é
Calculando cada parte:
Somando,
Passo 3
Para
a parte interna ao disco de raio 1 centrado em
é
. A condição
só é compatível enquanto
, que dá
. Assim, para
as seções são anéis com
O volume é
Passo 4
Para
em cada
o anel tem raio externo
e interno
. Logo
Passo 5
Para
a fronteira superior é
e a inferior é
. Verificamos:
- Se
, então e domina, logo . - Se
, então , logo .
Em ambos os casos. Assim
Calcula-se
,
,
logo
logo
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)