Calcule a probabilidade de encontrar o elétron em r=infty para a função correspondente ao orbital 2 s (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a probabilidade de encontrar o elétron em para a função correspondente ao orbital 2s .
Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e probabilidade. Vamos dar uma olhada em como a função de onda se comporta e como calcular a probabilidade nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron em uma determinada posição é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda P(r) = |psi(r)|^2 cdot 4pi r^2 multiplicado pelo elemento de volume. Para sistemas esféricos, como o átomo de hidrogênio, o elemento de volume em coordenadas esféricas é .
Então, a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância do núcleo é:

Passo 3

Agora, vamos considerar o orbital 2s. A função de onda para o orbital 2s é conhecida e tem a forma:
onde psi2s(r) = 14raiz2pi (2 - ra0) e^-r/(2a0)(a0)^3/2 é o raio de Bohr.
Para encontrarmos |psi2s(r)|^2 = (14raiz2pi)^2 (2 - ra0)^2 e^-r/a0(a0)^3 , vamos elevar essa função ao quadrado:

Passo 4

Agora, substituímos P(r) = (14raiz2pi)^2 (2 - ra0)^2 e^-r/a0(a0)^3 cdot 4pi r^2 na expressão da probabilidade:
P(r) = 132pi cdot 4pi r^2(a0)^3 (2 - ra0)^2 e^-r/a0
Simplificando os termos constantes:
P(r) = 18(a0)^3 r^2 (2 - ra0)^2 e^-r/a0

Passo 5

Agora, queremos calcular a probabilidade quando limr to infty P(r) = 0 tende ao infinito ( ). Vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão:
  • cresce sem limites.
  • também cresce proporcionalmente a .
  • decai exponencialmente para zero muito mais rápido que os termos polinomiais crescem.
Portanto, o produto dos termos polinomiais com o termo exponencial resulta em zero:

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron em para o orbital 2s é zero.

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