Calcule os problemas de valores iniciais dados.
b) y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=e^{-3 t}, y(0)=1 e y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y'' + 6y' + 9y = e^{-3t},
com condições y(0)=1 e y'(0)=2.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos usar:
  1. solução geral da homogênea;
  2. método dos coeficientes a determinar para a particular;
  3. aplicação das condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
r^2 + 6r + 9 = 0.
As raízes são r=-3 dupla. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{-3t} + C_2\,t\,e^{-3t}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular, tentamos
y_p(t) = A\,t^2 e^{-3t}
porque e^{-3t} já aparece na homogênea com multiplicidade 2.
Então y_p' = A\,e^{-3t}(2t - 3t^2)
e y_p'' = A\,e^{-3t}(2 - 12t + 9t^2).
Substituindo na EDO:
y_p'' + 6y_p' + 9y_p = A e^{-3t}\bigl(2 -12t +9t^2\bigr) +6A e^{-3t}\bigl(2t -3t^2\bigr) +9A t^2 e^{-3t} = 2A e^{-3t}.
Para igualar a e^{-3t} precisamos de 2A=1, logo A=\tfrac12. Portanto
y_p(t) = \tfrac12\,t^2 e^{-3t}.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C_1 e^{-3t} + C_2\,t\,e^{-3t} + \tfrac12\,t^2 e^{-3t} = e^{-3t}\bigl(C_1 + C_2 t + \tfrac12 t^2\bigr).
Calculando y'(t):
y' = e^{-3t}\bigl[-3(C_1 + C_2 t + \tfrac12 t^2) + (C_2 + t)\bigr].
Em t=0: y(0)=C_1=1 e y'(0)=-3C_1 + C_2 = -3 + C_2 = 2,
logo C_2=5.

Resposta

y(t) = e^{-3t}\Bigl(1 + 5t + \tfrac12 t^2\Bigr).

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