Calcule as transformadas inversas.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa \mathcal{L}^{-1}\bigl\{F(s)\bigr\} de
F(s)=\frac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}.
O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a propriedade de deslocamento no eixo s e a fórmula
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\Bigr\} =\frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}e^{-a t}.

Passo 2

Reescrevemos o numerador em termos de (s+2):
s+1 = (s+2)-1 \quad\Longrightarrow\quad (s+1)^{2} = \bigl((s+2)-1\bigr)^{2} = (s+2)^{2}-2(s+2)+1.

Passo 3

Dividindo por (s+2)^{4} e separando termos,
\frac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}} =\frac{(s+2)^{2}}{(s+2)^{4}} -2\,\frac{(s+2)}{(s+2)^{4}} +\frac{1}{(s+2)^{4}} =\frac{1}{(s+2)^{2}} -2\,\frac{1}{(s+2)^{3}} +\frac{1}{(s+2)^{4}}.

Passo 4

Aplicando a regra
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+2)^{n}}\Bigr\} =\frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}e^{-2t},
cada termo gera:

Passo 5

\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+2)^{2}}\Bigr\} = t\,e^{-2t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+2)^{3}}\Bigr\} =\frac{t^{2}}{2}\,e^{-2t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+2)^{4}}\Bigr\} =\frac{t^{3}}{6}\,e^{-2t}.
Logo, somando com os coeficientes:
f(t) = e^{-2t}\Bigl(t -2\cdot\frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{6}\Bigr) = e^{-2t}\Bigl(t - t^{2} + \tfrac{t^{3}}{6}\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{(s+1)^{2}}{(s+2)^{4}}\Bigr\}(t) = e^{-2t}\Bigl(t - t^{2} + \tfrac{t^{3}}{6}\Bigr).

Exercícios relacionados