Calcule as transformadas de Laplace usando a definição.
\mathcal{L}{\operatorname{sinh} (k t)}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \operatorname{sinh}(kt) usando a definição \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui o conteúdo é cálculo de integral imprópria exponencial, e usaremos a representação
\operatorname{sinh}(kt)=\frac{e^{kt}-e^{-kt}}{2}.

Passo 2

Aplicando a definição,
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(kt)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{sinh}(kt)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\bigl(e^{kt}-e^{-kt}\bigr)\,dt.
Isso se separa em duas integrais:
\frac{1}{2}\Bigl[\int_{0}^{\infty}e^{-(s-k)t}\,dt \;-\;\int_{0}^{\infty}e^{-(s+k)t}\,dt\Bigr].

Passo 3

Cada integral é do tipo \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-at}\,dt=1/a para \Re(a)>0.
Aqui precisamos de \Re(s\pm k)>0, ou seja \Re(s)>|k|.
Portanto,
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-k)t}\,dt=\frac{1}{s-k}, \qquad \int_{0}^{\infty}e^{-(s+k)t}\,dt=\frac{1}{s+k}.

Passo 4

Substituindo essas expressões,
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(kt)\}(s) =\frac{1}{2}\Bigl[\frac{1}{s-k}-\frac{1}{s+k}\Bigr] =\frac{(s+k)-(s-k)}{2\,(s-k)(s+k)} =\frac{2k}{2\,(s^2-k^2)} =\frac{k}{s^2-k^2}.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(kt)\}(s)=\frac{k}{s^2-k^2},\quad \Re(s)>|k|.

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