onde \gamma^{0}(x)=x e \gamma^{k+1}(x)=\gamma(\gamma^{k}(x)). Como estamos em um conjunto finito, as aplicações repetidas de \gamma acabam retornando a um elemento já visto, formando um ciclo finito. Na prática, para achar a órbita de x basta seguir x\mapsto\gamma(x)\mapsto\gamma^2(x)\mapsto\cdots até voltar a x.
Passo 3
Calcular a órbita de 1 seguindo a definição passo a passo:
\gamma(1)=5,
\gamma^{2}(1)=\gamma(5)=8,
\gamma^{3}(1)=\gamma(8)=7,
\gamma^{4}(1)=\gamma(7)=1.
Como \gamma^{4}(1)=1 voltamos ao início, a órbita é
\mathcal{O}(1)=\{1,5,8,7\}.
Passo 4
Calcular a órbita de 2:
\gamma(2)=6,
\gamma^{2}(2)=\gamma(6)=3,
\gamma^{3}(2)=\gamma(3)=2.
Voltando a 2 em três passos, a órbita é
\mathcal{O}(2)=\{2,6,3\}.
Passo 5
Calcular a órbita de 4:
\gamma(4)=4.
Já vimos que 4 é fixo; assim
\mathcal{O}(4)=\{4\}.
Passo 6
Verificação rápida: os elementos 1,5,8,7 estão na primeira órbita, 2,6,3 na segunda e 4 na terceira. Todos os elementos de \{1,\dots,8\} foram cobertos e as órbitas são disjuntas. Em notação de ciclos a permutação pode ser escrita como