Determine as órbitas de cada permutação.
\gamma=\left(\begin{array}{llllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 5 & 6 & 2 & 4 & 8 & 3 & 1 & 7\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a permutação
\gamma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\[4pt] 5 & 6 & 2 & 4 & 8 & 3 & 1 & 7 \end{pmatrix}
e pede para determinar as órbitas de \gamma.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para cada i\in\{1,\dots,8\} está dado \gamma(i) (os pares acima).
  • A tarefa é listar, para cada elemento, o conjunto de pontos que se obtêm aplicando \gamma repetidas vezes — ou seja, as órbitas.]

Passo 2

O que é uma órbita (explicação didática): para uma permutação \gamma e um elemento x, a órbita de x é o conjunto
\mathcal{O}(x)=\{\gamma^{k}(x)\mid k=0,1,2,\dots\},
onde \gamma^{0}(x)=x e \gamma^{k+1}(x)=\gamma(\gamma^{k}(x)). Como estamos em um conjunto finito, as aplicações repetidas de \gamma acabam retornando a um elemento já visto, formando um ciclo finito. Na prática, para achar a órbita de x basta seguir x\mapsto\gamma(x)\mapsto\gamma^2(x)\mapsto\cdots até voltar a x.

Passo 3

Calcular a órbita de 1 seguindo a definição passo a passo:
\gamma(1)=5,
\gamma^{2}(1)=\gamma(5)=8,
\gamma^{3}(1)=\gamma(8)=7,
\gamma^{4}(1)=\gamma(7)=1.
Como \gamma^{4}(1)=1 voltamos ao início, a órbita é
\mathcal{O}(1)=\{1,5,8,7\}.

Passo 4

Calcular a órbita de 2:
\gamma(2)=6,
\gamma^{2}(2)=\gamma(6)=3,
\gamma^{3}(2)=\gamma(3)=2.
Voltando a 2 em três passos, a órbita é
\mathcal{O}(2)=\{2,6,3\}.

Passo 5

Calcular a órbita de 4:
\gamma(4)=4.
Já vimos que 4 é fixo; assim
\mathcal{O}(4)=\{4\}.

Passo 6

Verificação rápida: os elementos 1,5,8,7 estão na primeira órbita, 2,6,3 na segunda e 4 na terceira. Todos os elementos de \{1,\dots,8\} foram cobertos e as órbitas são disjuntas. Em notação de ciclos a permutação pode ser escrita como
\gamma=(1\;5\;8\;7)(2\;6\;3)(4).

Resposta

\{1,5,8,7\}
\{2,6,3\}
\{4\}

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